Critérios de divisibilidade

Critérios de divisibilidade por 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12 e 13 são regras que permitem verificar se um número inteiro é divisível por estes números sem deixar resto. Conhecendo esses critérios, é possível agilizar muito algumas divisões, principalmente aquelas que envolvem números grandes.

 

Olá, pessoal! Tudo bem com vocês?

Hoje é o dia de aprendermos como definir se um número inteiro qualquer, seja ele grande ou pequeno, é divisível por 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12 ou 13! Para isso, nós iremos estudar os critérios de divisibilidade, ou seja, as regras que definem em que casos um número pode ser dividido por esses algarismos sem deixar resto. Esse conteúdo é bastante simples, mas extremamente importante para quem vai prestar alguns vestibulares, e principalmente para quem fará a prova do ENEM!

Então, vamos começar? Veremos agora cada um dos critérios de divisibilidade separadamente, e com a ajuda de alguns exemplos. Vem comigo aqui!

 

1. DIVISIBILIDADE POR 2

Todos os números pares, ou seja, aqueles terminados em 0, 2, 4, 6, e 8, são divisíveis por 2.

São alguns exemplos:

368 é divisível por 2 porque termina com o número 8, o que o caracteriza como sendo um número par.

4560 termina com 0, portanto, também é um número par e divisível por 2.

37 não é divisível por 2, pois termina com 7, portanto, não é um número par.

 

2. DIVISIBILIDADE POR 3

Um número é divisível por 3 quando a soma dos seus algarismos resultar em um número divisível por 3.

Assim, sempre que precisarmos avaliar se um número é divisível por 3, o primeiro passo é somar todos os algarismos desse número. Vamos a alguns exemplos:

3471 é divisível por 3, pois a soma de seus algarismos resulta em 15 (3 + 4 + 7 + 1 = 15), que é divisível por 3 (15 ÷ 3 = 5).

12937 não é divisível por 3, pois a soma de seus algarismos resulta em 22 (1 + 2 + 9 + 3 + 7 = 22), que não é divisível por 3.

 

3. DIVISIBILIDADE POR 4

Um número é divisível por 4 quando os dois últimos algarismos formarem um número divisível por 4.

Isso significa, basicamente, que o que realmente importa são os dois últimos algarismos de cada número, independente se ele for grande ou não. Vejam só:

578428 é divisível por 4 porque os seus 2 últimos algarismos formam o número 28, que é divisível por 4 (28:4 = 7).

3748900 é divisível por 4, porque seus 2 últimos algarismos são 00, e zero pode ser dividido por qualquer número que não seja zero sem deixar resto (0:4 = 0).

Atenção! É possível dividir o número zero por qualquer outro número, menos por ele mesmo. Uma divisão de zero por zero é o que chamamos de indeterminação matemática.

Entendido, pessoal? Essa informação é bem importante! Sendo assim, seguimos para o próximo exemplo:

3750742 não é divisível por 4, porque seus 2 últimos algarismos formam o número 42, que não é divisível por 4 (42:4 = 10,5). Claro, a divisão de 42 por 4 é possível, só que o resultado dela é um número decimal, e para fins de divisibilidade, precisamos de resultados que sejam inteiros.

 

4. DIVISIBILIDADE POR 5

Um número é divisível por 5 quando o seu último algarismo for zero ou 5.

Nesse caso, é necessário prestar atenção apenas no último algarismo de cada número, mesmo que o número como um todo seja enorme. Acompanhem como isso se aplica:

854189035 é divisível por 5, pois seu último algarismo é 5.

45914703 não é divisível por 5, porque seu último algarismo não é 0 e nem 5.

 

5. DIVISIBILIDADE POR 6

Um número é divisível por 6 somente se for divisível por 2 e por 3.

Vejam pessoal, que a divisibilidade por 6 nos leva a divisibilidade por 2 e a divisibilidade por 3. Isso significa que devemos prestar muita atenção no significado da conjunção “e”. O número que avaliarmos deve ser divisível por 2 e por 3, porque se for divisível somente por 2 ou somente por 3, não será divisível por 6.

Assim, tendo em vista que a divisibilidade por 2 nos leva a números pares, o primeiro passo para determinar se um número é divisível por 6 é verificar se esse número é par. Caso a resposta seja “sim”, resta-nos somar todos os algarismos desse número para verificar se ele também é divisível por 3. Se tudo der certo, teremos um número divisível por 6. Observem comigo!

53427 não é divisível por 6, porque é um número ímpar, ou seja, não é divisível por 2 – em casos como esse, não é necessário somar os algarismos e verificar a divisibilidade por 3.

106424 não é divisível por 6, pois apesar de ser um número par, e, portanto, divisível por 2, a soma de seus algarismos resulta em 17 (1 + 0 + 6 + 4 + 2 + 4 = 17), e 17 não é divisível por 3.

812472 é divisível por 6, porque é um número par, ou seja, é divisível por 2 e porque a soma de seus algarismos resulta em 24 (8 + 1 + 2 + 4 + 7 + 2 = 24), e 24 é divisível por 3 (24:3 = 8).

 

6. DIVISIBILIDADE POR 7

No fim do ano de 2019, um jovem nigeriano chamado Chika Ofili, na época com 12 anos, descobriu um critério de divisibilidade por 7 muito simples e prático. Acompanhem comigo a descrição deste critério:

Um número é divisível por 7, quando a soma entre o último algarismo desse número multiplicado por 5 e o número formado pelos demais algarismos desse número resultar em um múltiplo de 7.

Para que essa descrição fique mais clara, analisem comigo os seguintes exemplos:

532 é divisível por 7, pois a soma entre 53 e a multiplicação de 2 por 5 (2 x 5 = 10), resulta em 63 (53 + 10 = 63), um múltiplo de 7.

Incrível, não é mesmo? Se 63 é um múltiplo de 7, 532 certamente também é. Reparem que neste exemplo, nós encontramos como resultado o número 63, que é visivelmente um múltiplo de 7, pois está na tabuada do 7. Vamos descobrir agora, se 987 é um número divisível por 7. Fiquem atentos ao que irá acontecer.

E aí, 133 é um múltiplo de 7? Se vocês não souberem responder essa pergunta, repitam o procedimento até encontrar (ou não) um múltiplo de 7 conhecido.

987 é divisível por 7, pois a soma entre 98 e a multiplicação de 7 por 5 (7 x 5 = 35), resulta em 133 (98 + 35 = 133), e a soma entre 13 e a multiplicação de 3 por 5 (3 x 5 = 15), resulta em 28 (13 + 15 = 28), um múltiplo de 7.

Pois bem, parece que para utilizar esse critério, precisamos conhecer os principais múltiplos de 7. Por isso, deixo para vocês uma tabelinha com a tabuada do 7. Assim, fica mais fácil de memorizar todos esses valores.

 

7. DIVISIBILIDADE POR 8

Um número é divisível por 8 quando os seus três últimos algarismos formam um número divisível por 8.

Percebam que esse critério é muito parecido com o critério de divisibilidade por 4. Neste caso, devemos prestar bastante atenção nos três últimos algarismos dos números que avaliarmos. Acompanhem o exemplo comigo!

3958743328 é divisível por 8, pois o número formado por seus 3 últimos algarismos é divisível por 8 (328:8 = 41).

 

8. DIVISIBILIDADE POR 9

Um número é divisível por 9, se a soma dos seus algarismos gerar um número divisível por 9.

Observem a semelhança que esse critério tem com o critério de divisibilidade por 3. Só que agora, precisamos verificar se a soma dos algarismos do número que avaliarmos é divisível por 9. Vamos lá!

4901067 é divisível por 9, pois a soma de seus algarismos resulta em 27 (4 + 9 + 0 + 1 + 0 + 6 + 7 = 27), que é divisível por 9 (27:9 = 3).

307410541 não é divisível por 9, pois a soma de seus algarismos resulta em 25(3 + 0 + 7 + 4 + 1 + 0 + 5 + 4 + 1 = 25), que não é divisível por 9.

 

9. DIVISIBILIDADE POR 10

Um número é divisível por 10 quando o seu último algarismo for zero.

O critério de divisibilidade por 10 é um dos mais simples de memorizar, não é mesmo? Quando um número termina com zero, sabemos que ele é divisível por 10, como nos casos abaixo:

930

540

680

 

10. DIVISIBILIDADE POR 11

Um número é divisível por 11, se a soma alternada de seus algarismos resultar em um valor divisível por 11.

Realizar uma soma alternada entre os algarismos de um número significa basicamente inserir sinais de soma e subtração alternados entre estes algarismos iniciando sempre pela esquerda e com o sinal positivo. Vamos somar alternadamente o número 935 para vocês entenderem essa ideia direitinho.

+ 9 – 3 + 5 = 11

Reparem que o resultado da soma alternada que acabamos de realizar foi 11. Com toda a certeza 11 é divisível por 11, não é mesmo? Portanto, 935 também é!

Vamos aos nossos últimos exemplos:

90832071 é divisível por 11, pois a soma alternada de seus algarismos resulta em 22 (+ 9 – 0 + 8 – 3 + 2 – 0 + 7 – 1 = 22), que é um número divisível por 11 (22:11 = 2).

2357014982 não é divisível por 11, pois a soma alternada de seus algarismos resulta em – 3 (+ 2 – 3 + 5 – 7 + 0 – 1 + 4 – 9 + 8 – 2 = – 3), que não é um número divisível por 11.

 

11. DIVISIBILIDADE POR 12

 

Um número é divisível por 12 quando for divisível por 3 e por 4 ao mesmo tempo, já que 3 x 4 = 12.

Assim como acontece na divisibilidade por 6, aqui também é preciso que as duas condições sejam satisfeitas juntas: não basta ser divisível apenas por 3 ou apenas por 4, portanto o número precisa passar pelos dois critérios ao mesmo tempo. Confira os exemplos a seguir:

522 não é divisível por 12, pois, embora a soma de seus algarismos resulte em 9 (5 + 2 + 2 = 9), que é divisível por 3, os seus 2 últimos algarismos formam o número 22, que não é divisível por 4.

8524 não é divisível por 12, pois, embora os seus 2 últimos algarismos formem o número 24, que é divisível por 4, a soma de seus algarismos resulta em 19 (8 + 5 + 2 + 4 = 19), que não é divisível por 3.

348 é divisível por 12, pois os seus 2 últimos algarismos formam o número 48, que é divisível por 4 (48:4 = 12), e a soma de seus algarismos resulta em 15 (3 + 4 + 8 = 15), que também é divisível por 3 (15:3 = 5). Logo, como as duas condições são atendidas ao mesmo tempo, 348 é divisível por 12 (348:12 = 29).

 

12. DIVISIBILIDADE POR 13

 

Um número é divisível por 13 quando a soma entre o número formado pelos algarismos restantes e o último algarismo multiplicado por 4 resultar em um múltiplo de 13.

Ou seja, o processo é parecido com o que já vimos no critério de divisibilidade por 7: retira-se o último algarismo do número, multiplica-se esse algarismo por 4 e soma-se o resultado ao número que restou. Caso o resultado ainda seja grande, basta repetir o procedimento até chegar a um número pequeno o suficiente para reconhecer se é ou não múltiplo de 13. Acompanhem os exemplos:

325 é divisível por 13, pois, ao somarmos 32 (número que restou) com o quádruplo de 5 (5 x 4 = 20), obtemos 52 (32 + 20 = 52), e 52 é um múltiplo de 13 (52:13 = 4).

265 não é divisível por 13, pois, ao somarmos 26 com o quádruplo de 5 (5 x 4 = 20), obtemos 46 (26 + 20 = 46), e 46 não é um múltiplo de 13.

2028 é divisível por 13. Como esse número é maior, o procedimento deve ser repetido: primeiro, somamos 202 com o quádruplo de 8 (8 x 4 = 32), obtendo 234 (202 + 32 = 234); em seguida, repetimos o processo com 234, somando 23 com o quádruplo de 4 (4 x 4 = 16), o que resulta em 39 (23 + 16 = 39). Como 39 é um múltiplo de 13 (39:13 = 3), concluímos que 2028 também é divisível por 13 (2028:13 = 156).

 

Como descobrir o critério de divisibilidade de qualquer número

Pessoal, além dos critérios de divisibilidade por 12 e por 13 que acabamos de ver, existem muitos outros, como a divisibilidade por 14, por 15 e por aí vai.

Contudo, para que vocês não precisem memorizar uma série de regras, tentem pensar na seguinte lógica: sempre que um número puder ser escrito como o produto de dois fatores que não têm divisores em comum entre si, basta verificar se o número avaliado é divisível pelos dois fatores ao mesmo tempo.

Foi exatamente isso que fizemos com o 12 (3 x 4), e o mesmo vale para o 15, ou seja, se um número é divisível por 5 e por 3, então será divisível por 15, afinal 5 x 3 = 15. O mesmo raciocínio funciona para o 14 (2 x 7).

Tentem aplicar essa ideia em outros números, pois acreditem, esse método funciona! Só um cuidado importante: essa “combinação de critérios” só é válida quando os dois fatores escolhidos não compartilham divisores entre si.

Por isso funciona com 3 e 4 (para o 12) ou com 3 e 5 (para o 15), mas não funcionaria, por exemplo, se tentássemos combinar os critérios por 4 e por 6 para “descobrir” a divisibilidade por 24 — afinal, 4 e 6 têm o número 2 como divisor em comum, e por isso um número pode ser divisível por 4 e por 6 ao mesmo tempo (como o 12) sem ser divisível por 24.

 

Tabela-resumo dos Critérios de Divisibilidade

 

Para facilitar a consulta e a revisão, reunimos todos os critérios que vimos até aqui na tabela abaixo. Dessa forma, sempre que precisar relembrar rapidamente uma regra, basta voltar a esta seção.

Divisor	Critério de divisibilidade	Exemplo
2	Termina em 0, 2, 4, 6 ou 8	368
3	A soma dos algarismos é divisível por 3	3.471 (soma = 15)
4	Os 2 últimos algarismos formam um número divisível por 4	578.428
5	Termina em 0 ou 5	854.189.035
6	É divisível por 2 e por 3 ao mesmo tempo	812.472
7	A soma entre os algarismos restantes e o último algarismo x 5 é múltiplo de 7	532
8	Os 3 últimos algarismos formam um número divisível por 8	3.958.743.328
9	A soma dos algarismos é divisível por 9	4.901.067
10	Termina em 0	930
11	A soma alternada dos algarismos é divisível por 11	935
12	É divisível por 3 e por 4 ao mesmo tempo	348
13	A soma entre os algarismos restantes e o último algarismo x 4 é múltiplo de 13	325

 

Exercícios sobre Critérios de Divisibilidade

 

Agora que você já conhece todos os critérios de divisibilidade de 2 a 13, que tal colocar esse conhecimento em prática? Resolva os exercícios a seguir e confira, logo abaixo, a resolução comentada de cada um.

 

Exercício 1. O número 2.340 é divisível por quais dos seguintes números: 2, 3, 4, 5, 6, 9 e 10?

Resolução: o número termina em 0, portanto é divisível por 2, por 5 e por 10; a soma de seus algarismos é 9 (2 + 3 + 4 + 0 = 9), que é divisível por 3 e por 9; assim, por ser divisível por 2 e por 3 ao mesmo tempo, também é divisível por 6; e como seus 2 últimos algarismos formam o número 40, que é divisível por 4, o número 2.340 é divisível por todos os valores apresentados: 2, 3, 4, 5, 6, 9 e 10.

 

Exercício 2. Qual é o algarismo que deve substituir X no número 71X para que ele seja divisível por 9?

Resolução: pelo critério de divisibilidade por 9, a soma dos algarismos precisa ser um múltiplo de 9. Como 7 + 1 = 8, falta apenas 1 para chegar a 9, que é o primeiro múltiplo de 9 maior que 8. Portanto, X = 1, e o número 711 é divisível por 9 (711:9 = 79).

 

Exercício 3. Usando o critério descoberto por Chika Ofili, verifique se o número 2.436 é divisível por 7.

Resolução: primeiro, multiplicamos o último algarismo (6) por 5, obtendo 30, e somamos ao número que restou (243), o que resulta em 273 (243 + 30 = 273). Como 273 ainda é um número grande, repetimos o processo: multiplicamos 3 por 5 (15) e somamos a 27, obtendo 42 (27 + 15 = 42). Como 42 é um múltiplo de 7 (42:7 = 6), concluímos que 2.436 também é divisível por 7 (2436:7 = 348).

 

Exercício 4. O número 4.283 é divisível por 11? Justifique usando o critério da soma alternada.

Resolução: fazendo a soma alternada dos algarismos, da esquerda para a direita e começando com sinal positivo, temos: + 4 – 2 + 8 – 3 = 7. Como 7 não é um múltiplo de 11, o número 4.283 não é divisível por 11.

 

Exercício 5. Verifique se o número 1.560 é divisível por 12.

Resolução: para isso, é necessário verificar se ele é divisível por 3 e por 4 ao mesmo tempo. A soma de seus algarismos é 12 (1 + 5 + 6 + 0 = 12), que é divisível por 3, e seus 2 últimos algarismos formam o número 60, que é divisível por 4 (60:4 = 15). Como as duas condições são atendidas, 1.560 é divisível por 12 (1560:12 = 130).

 

Exercício 6. O número 1.001 é divisível por 13? E por 7 e por 11?

Resolução: usando o critério de divisibilidade por 13, somamos 100 (número que restou) ao quádruplo de 1 (1 x 4 = 4), obtendo 104 (100 + 4 = 104); repetindo o processo, somamos 10 ao quádruplo de 4 (4 x 4 = 16), o que resulta em 26 (10 + 16 = 26). Como 26 é um múltiplo de 13 (26:13 = 2), o número 1.001 é divisível por 13. Curiosamente, 1.001 também é divisível por 7 e por 11 ao mesmo tempo, já que 1.001 = 7 x 11 x 13!

 

Gabarito resumido: 1) divisível por 2, 3, 4, 5, 6, 9 e 10; 2) X = 1; 3) sim, divisível por 7; 4) não é divisível por 11; 5) sim, divisível por 12; 6) sim, divisível por 13 (e também por 7 e por 11).

 

Perguntas Frequentes sobre Critérios de Divisibilidade

 

Como saber se um número é divisível por outro sem fazer a conta?

Basta aplicar o critério de divisibilidade correspondente a esse número: são regras práticas, como somar os algarismos ou observar os últimos dígitos, que revelam se a divisão terá resto zero sem que seja preciso realizar a divisão completa.

 

Qual é o critério de divisibilidade por 7?

Um número é divisível por 7 quando a soma entre o número formado pelos algarismos restantes e o último algarismo multiplicado por 5 resultar em um múltiplo de 7. Esse critério foi popularizado em 2019 pelo jovem Chika Ofili, então com 12 anos.

 

Qual é o critério de divisibilidade por 13?

Um número é divisível por 13 quando a soma entre o número formado pelos algarismos restantes e o último algarismo multiplicado por 4 resultar em um múltiplo de 13, repetindo o processo quantas vezes forem necessárias até chegar a um número pequeno.

 

Todo número divisível por 9 também é divisível por 3?

Sim. Como 9 é múltiplo de 3, todo número divisível por 9 é automaticamente divisível por 3 também. Contudo, o contrário não é verdadeiro: nem todo número divisível por 3 é divisível por 9. O número 21, por exemplo, é divisível por 3, mas não por 9.

 

Existe um critério de divisibilidade por 12?

Sim. Um número é divisível por 12 quando for divisível por 3 e por 4 ao mesmo tempo, pois 3 x 4 = 12. A mesma lógica pode ser aplicada a outros números compostos, como 15 (3 x 5) e 14 (2 x 7), desde que os dois fatores considerados não tenham divisores em comum entre si.

 

Veja também

Para continuar aprendendo, confira também estes conteúdos relacionados do blog: Números Primos e Compostos, Como Determinar a Quantidade de Divisores de um Número e Frações Equivalentes e a Simplificação de Frações.

 

Assim, encerramos mais um texto! Espero que todos os critérios que abordamos aqui tenham ficado claros, e que vocês possam fazer uso deles sempre que precisarem! Deixo em anexo um vídeo, para vocês revisarem os critérios e memorizarem tudo facilmente.

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Um grande abraço e muito sucesso! Até breve, pessoal!

Antes de ir, assista o vídeo abaixo do Professor Ferretto sobre critérios de divisibilidade.