Número de Elementos da União: as fórmulas que você precisa saber

O número de elementos da união entre dois conjuntos A e B é dado por n(A ∪ B) = n(A) + n(B) − n(A ∩ B). Baseando-se nessa fórmula, é possível obter uma segunda: a do número de elementos da união entre três conjuntos, A, B e C.

Resposta rápida Dois conjuntos: n(A ∪ B) = n(A) + n(B) − n(A ∩ B) Dois conjuntos disjuntos (A ∩ B = ∅): n(A ∪ B) = n(A) + n(B) Três conjuntos: n(A ∪ B ∪ C) = n(A) + n(B) + n(C) − n(A ∩ B) − n(A ∩ C) − n(B ∩ C) + n(A ∩ B ∩ C) Ideia central: somamos os elementos de cada conjunto e, depois, descontamos o que foi contado em duplicidade.

 

Olá, pessoal! Como vão vocês?

Estamos bastante acostumados a encontrar o conjunto união entre dois conjuntos A e B. Contudo, dificilmente nos preocupamos com o número, ou com a quantidade de elementos desse conjunto, também chamada de cardinalidade. Não parece, mas a verdade é que essa informação pode nos ajudar a resolver diversas questões do Enem e, principalmente, de vestibulares.

Por isso, aprenderemos no texto de hoje a fórmula do número de elementos da união entre 2 e 3 conjuntos. Faremos também alguns exemplos passo a passo e, por fim, resolveremos exercícios com gabarito comentado, para consolidar todo esse conhecimento. Quem está pensando em prestar vestibulares logo mais, terá de seguir comigo!

Este texto responde à pergunta “qual é a fórmula?”. Portanto, se você quiser revisar a teoria antes de começar, passe pelo guia de Operações com Conjuntos, que reúne união, intersecção, diferença e complementar, ou pelo texto União e Intersecção de Conjuntos. Depois, volte aqui para treinar a contagem.

Beleza, pessoal? Então, é hora de iniciarmos os estudos. Vem comigo!

Fórmula do Número de Elementos da União entre 2 Conjuntos

Então, o que acharam da fórmula apresentada na imagem acima? Em texto, ela fica assim:

n(A ∪ B) = n(A) + n(B) − n(A ∩ B)

Símbolo	O que significa
n(A)	número de elementos do conjunto A
n(B)	número de elementos do conjunto B
n(A ∩ B)	número de elementos comuns a A e a B (a intersecção)
n(A ∪ B)	número de elementos da união de A e B

 

Eu sei, parece confuso determinar a quantidade de elementos do conjunto união entre os conjuntos A e B. Mas tenho certeza de que, partindo de um exemplo, tudo ficará mais claro.

Por que Precisamos Subtrair a Intersecção?

Deem uma olhada nos conjuntos A e B descritos abaixo.

A = {1, 5, 6, 7, 12}

B = {3, 4, 6, 7}

A união entre dois conjuntos A e B pode ser definida como o conjunto formado pelos elementos que pertencem a A ou a B, de acordo com o texto União e Intersecção. Isso significa que a união dos conjuntos A e B apresentados acima é um conjunto formado pelos elementos que pertencem a A, a B ou a ambos os conjuntos.

Vejam que, para determinar o conjunto união entre A e B, nós copiamos todos os elementos de A e, depois, todos os elementos de B. Como havia dois elementos em comum entre os conjuntos (6 e 7), não houve a necessidade de copiá-los novamente. Dessa forma, obtemos:

A ∪ B = {1, 5, 6, 7, 12, 3, 4}

Quando os conjuntos são representados na forma de diagrama, fica ainda mais fácil determinar a união entre eles.

Claro! Neste caso, é só copiar todos os elementos dispostos no diagrama. Isso porque, nessa forma de representação, os elementos comuns a ambos os conjuntos já ficam em evidência na região entrelaçada.

Bom, se os elementos que são comuns aos conjuntos A e B fazem diferença na hora de montarmos o conjunto união entre eles, é claro que também fazem diferença na hora de determinar o número de elementos desse conjunto, n(A ∪ B).

Observe o que acontece: os elementos 6 e 7 pertencem a A e a B ao mesmo tempo. Logo, eles são contados uma vez em n(A) e, de novo, em n(B). Por conseguinte, a soma n(A) + n(B) conta esses elementos em duplicidade, e precisamos descontá-los uma única vez, subtraindo n(A ∩ B). Assim faz todo o sentido, não é mesmo?

Aplicando a Fórmula do Número de Elementos da União

Querem ver como é verdade? Contando os elementos do conjunto união que havíamos obtido, A ∪ B = {1, 5, 6, 7, 12, 3, 4}, é fato que ele possui 7 elementos. Vamos usar a fórmula do número de elementos da união para ver se o resultado é equivalente. Primeiro, identificamos os valores de que precisamos:

• n(A) = 5, pois A possui os elementos 1, 5, 6, 7 e 12;
• n(B) = 4, pois B possui os elementos 3, 4, 6 e 7;
• n(A ∩ B) = 2, pois os elementos comuns são 6 e 7.

Agora, aplicamos a fórmula:

n(A ∪ B) = n(A) + n(B) − n(A ∩ B)

n(A ∪ B) = 5 + 4 − 2

n(A ∪ B) = 7

E não é que deu certo? Aproveitaremos a deixa para desenvolver um novo exemplo!

Exemplo Resolvido com Dois Conjuntos

Dados os conjuntos A = {1, 3, 5, 7, 9} e B = {2, 3, 5, 7}, determine o número de elementos da união de A e B.

Observando rapidamente os conjuntos dispostos no enunciado, podemos concluir que:

• O conjunto A possui 5 elementos: 1, 3, 5, 7 e 9.
• O conjunto B possui 4 elementos: 2, 3, 5 e 7.
• Ambos os conjuntos possuem 3 elementos em comum: 3, 5 e 7, de forma que A ∩ B = {3, 5, 7}.

Assim, o número de elementos da união de A e B é dado por:

n(A ∪ B) = n(A) + n(B) − n(A ∩ B)

n(A ∪ B) = 5 + 4 − 3

n(A ∪ B) = 6

Para provar que o resultado está correto, vamos encontrar o conjunto união de A e B. É possível perceber que ele realmente possui 6 elementos:

A ∪ B = {1, 2, 3, 5, 7, 9}

Usando a Fórmula ao Contrário: Como Encontrar a Intersecção

Nem sempre a questão pede o número de elementos da união. Às vezes, ela fornece n(A ∪ B) e quer saber quantos elementos são comuns. Nesse caso, basta isolar o termo n(A ∩ B):

n(A ∩ B) = n(A) + n(B) − n(A ∪ B)

Por exemplo, se n(A) = 14, n(B) = 11 e n(A ∪ B) = 20, então n(A ∩ B) = 14 + 11 − 20 = 5. Ou seja, 5 elementos pertencem aos dois conjuntos.

Fórmula do Número de Elementos da União entre 2 Conjuntos Disjuntos

Sendo A e B dois conjuntos disjuntos, ou seja, dois conjuntos que não possuem elementos em comum (veja mais no texto Subconjuntos e Conjunto das Partes), é fato que A ∩ B = ∅. Assim, o termo n(A ∩ B) da fórmula do número de elementos da união se torna nulo, ou igual a zero. Isso possibilita resumir a expressão que acabamos de conhecer.

Quando dois conjuntos A e B são disjuntos, o cálculo do número de elementos da união de A e B se resume à expressão n(A ∪ B) = n(A) + n(B).

Por exemplo, com A = {2, 4, 6} e B = {1, 3, 5, 7}, não há elementos comuns. Logo, n(A ∪ B) = 3 + 4 = 7, e de fato A ∪ B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}.

Outro Caso Particular: Quando B Está Contido em A

Se todo elemento de B também pertence a A (B ⊂ A), então A ∩ B = B e a união é o próprio A. Dessa forma, n(A ∪ B) = n(A) + n(B) − n(B) = n(A). Em outras palavras, o conjunto menor não acrescenta nenhum elemento novo à união.

Tranquilo, não é mesmo? Agora, vamos partir da mesma ideia aplicada a dois conjuntos para deduzir a fórmula do número de elementos da união entre três conjuntos. A representação em forma de diagrama vai nos ajudar novamente. Vem comigo!

Fórmula do Número de Elementos da União entre 3 Conjuntos

E aí, o que acharam do tamanho desta fórmula? Em texto, ela é:

n(A ∪ B ∪ C) = n(A) + n(B) + n(C) − n(A ∩ B) − n(A ∩ C) − n(B ∩ C) + n(A ∩ B ∩ C)

Dedução Passo a Passo com o Diagrama

Vamos começar nossa dedução partindo da representação em forma de diagrama de 3 conjuntos A, B e C. Pensaremos aqui em conjuntos que possuem apenas alguns elementos em comum e, por isso, seus diagramas poderão se entrelaçar.

Destacaremos agora, separadamente, as regiões do diagrama em que estão presentes os elementos dos conjuntos A, B e C. Fiquem atentos ao que irá acontecer!

Quem reparou na imagem com atenção percebeu que existem algumas regiões do diagrama que são comuns, por exemplo, aos elementos de A e B, A e C, B e C e também de A, B e C. Essas são as regiões de intersecção entre os conjuntos.

Assim, se partirmos da ideia da fórmula para dois conjuntos, em que primeiro somamos os elementos de todos os conjuntos e depois subtraímos os elementos repetidos, ou seja, os que estão nas regiões de intersecção entre dois conjuntos, chegamos à fórmula apresentada acima. Contudo, fica uma dúvida natural: por que somamos n(A ∩ B ∩ C) no final?

Por que Somamos n(A ∩ B ∩ C) no Final da Fórmula?

A resposta está em contar quantas vezes cada elemento da união é considerado. Observe a tabela:

Onde está o elemento	Vezes contado em n(A) + n(B) + n(C)	Vezes descontado nas três intersecções de pares	Contagem final
Em apenas um dos conjuntos	1	0	1 − 0 = 1
Em exatamente dois conjuntos	2	1	2 − 1 = 1
Nos três conjuntos	3	3	3 − 3 + 1 = 1 (o “+1” vem de n(A ∩ B ∩ C))

 

Note que um elemento presente nos três conjuntos é somado três vezes, mas também é subtraído três vezes, uma em cada intersecção de dois conjuntos. Portanto, ele “desaparece” da contagem. Por conseguinte, somamos n(A ∩ B ∩ C) uma vez ao final para que ele seja contado exatamente uma vez. Dessa forma, todo elemento da união passa a valer 1, nem mais, nem menos.

Exemplo Resolvido com Três Conjuntos

Em uma turma de 50 alunos, 28 estudam inglês (I), 22 estudam espanhol (E) e 18 estudam francês (F). Além disso, 10 estudam inglês e espanhol, 8 estudam inglês e francês, 6 estudam espanhol e francês, e 3 estudam os três idiomas. Quantos alunos estudam pelo menos um desses idiomas? E quantos não estudam nenhum deles?

Atenção: dados como “10 estudam inglês e espanhol” já incluem quem estuda os três idiomas. Por isso, eles correspondem a n(I ∩ E) = 10, n(I ∩ F) = 8, n(E ∩ F) = 6 e n(I ∩ E ∩ F) = 3.

Aplicando a fórmula do número de elementos da união entre 3 conjuntos:

n(I ∪ E ∪ F) = n(I) + n(E) + n(F) − n(I ∩ E) − n(I ∩ F) − n(E ∩ F) + n(I ∩ E ∩ F)

n(I ∪ E ∪ F) = 28 + 22 + 18 − 10 − 8 − 6 + 3

n(I ∪ E ∪ F) = 68 − 24 + 3

n(I ∪ E ∪ F) = 47

Logo, 47 alunos estudam pelo menos um idioma. Como a turma tem 50 alunos, os que não estudam nenhum deles são 50 − 47 = 3 alunos.

Qual Fórmula Usar? Tabela-Resumo do Número de Elementos da União

Antes de seguir, observe uma visão geral. Nos exemplos numéricos, reaproveitamos os valores dos exemplos resolvidos acima.

Situação	Fórmula	Exemplo numérico
Dois conjuntos quaisquer	n(A ∪ B) = n(A) + n(B) − n(A ∩ B)	5 + 4 − 2 = 7
Dois conjuntos disjuntos (A ∩ B = ∅)	n(A ∪ B) = n(A) + n(B)	3 + 4 = 7
B contido em A (B ⊂ A)	n(A ∪ B) = n(A)	se n(A) = 6, então n(A ∪ B) = 6
Três conjuntos	n(A ∪ B ∪ C) = n(A) + n(B) + n(C) − n(A ∩ B) − n(A ∩ C) − n(B ∩ C) + n(A ∩ B ∩ C)	28 + 22 + 18 − 10 − 8 − 6 + 3 = 47
Intersecção a partir da união	n(A ∩ B) = n(A) + n(B) − n(A ∪ B)	14 + 11 − 20 = 5
Elementos só de A (veja Diferença entre dois Conjuntos)	n(A − B) = n(A) − n(A ∩ B)	5 − 2 = 3
Elementos fora da união (veja Complementar de um Conjunto)	n(U) − n(A ∪ B), em que U é o conjunto universo	50 − 47 = 3

Como Resolver Problemas de Contagem com Diagrama de Venn

E pra quem achou a fórmula muito difícil de memorizar, aí vai uma dica! Representem os conjuntos citados nas questões do Enem e dos vestibulares em forma de diagrama. Dessa forma, vocês enxergam cada região e dificilmente contam um elemento duas vezes. Siga este roteiro:

1. Identifique os conjuntos e o total de elementos do universo, se o enunciado informar.
2. Comece pelo centro: preencha primeiro a região comum a todos os conjuntos.
3. Preencha as intersecções de dois conjuntos, subtraindo o valor que já está no centro.
4. Preencha as regiões exclusivas de cada conjunto, subtraindo tudo o que já foi colocado nele.
5. Some todas as regiões: o resultado é o número de elementos da união. O que sobra do total está fora de todos os conjuntos.
6. Confira: a soma de todas as regiões, mais os elementos de fora, deve ser igual ao total do enunciado.

Para traduzir expressões como “pelo menos um”, “apenas” e “nenhum” em operações, consulte também a tabela do guia de Operações com Conjuntos.

Aplicando o Roteiro ao Exemplo dos Idiomas

Voltando ao exemplo dos 50 alunos, vamos preencher o diagrama região por região:

Região do diagrama	Cálculo	Alunos
Os três idiomas (I ∩ E ∩ F)	dado do enunciado	3
Apenas inglês e espanhol	10 − 3	7
Apenas inglês e francês	8 − 3	5
Apenas espanhol e francês	6 − 3	3
Apenas inglês	28 − 7 − 5 − 3	13
Apenas espanhol	22 − 7 − 3 − 3	9
Apenas francês	18 − 5 − 3 − 3	7
Nenhum dos três idiomas	50 − 47	3
Total	13 + 9 + 7 + 7 + 5 + 3 + 3 + 3	50

 

Repare que as regiões somam exatamente 50 alunos. Assim, confirmamos que o resultado obtido pela fórmula, 47 alunos na união, está correto.

E Se Forem Mais de 3 Conjuntos? O Princípio da Inclusão-Exclusão

A ideia se repete: soma-se, subtrai-se, soma-se de novo, e assim por diante, alternando os sinais. Para 4 conjuntos, A, B, C e D, a regra fica:

• somamos os 4 conjuntos: n(A) + n(B) + n(C) + n(D);
• subtraímos as 6 intersecções de dois conjuntos (A ∩ B, A ∩ C, A ∩ D, B ∩ C, B ∩ D e C ∩ D);
• somamos as 4 intersecções de três conjuntos (A ∩ B ∩ C, A ∩ B ∩ D, A ∩ C ∩ D e B ∩ C ∩ D);
• subtraímos a intersecção dos quatro: n(A ∩ B ∩ C ∩ D).

Essa regra geral é chamada de princípio da inclusão-exclusão. Em provas do Enem e de vestibulares, contudo, quase sempre aparecem dois ou três conjuntos. Portanto, o diagrama de Venn continua sendo o caminho mais seguro.

Erros Comuns ao Calcular o Número de Elementos da União

Antes de partir para os exercícios, veja os deslizes que mais aparecem:

1. Somar n(A) + n(B) direto. Isso só vale se os conjuntos forem disjuntos; caso contrário, os elementos comuns são contados duas vezes.
2. Esquecer o n(A ∩ B ∩ C) no final da fórmula de três conjuntos.
3. Tratar “estudam A e B” como “estudam apenas A e B”. Em geral, o dado do enunciado já inclui quem pertence aos três conjuntos.
4. Confundir união com intersecção. “Ou” e “pelo menos um” pedem a união; “e” e “ao mesmo tempo” pedem a intersecção.
5. Esquecer quem está fora de todos os conjuntos. O total do enunciado pode ser maior que n(A ∪ B).

Exercícios Propostos sobre o Número de Elementos da União (com Gabarito)

Os exercícios a seguir foram elaborados para este texto, no estilo do Enem e dos vestibulares. Tente resolver sozinho antes de conferir o gabarito comentado.

1) Dois conjuntos A e B têm n(A) = 18, n(B) = 15 e n(A ∩ B) = 6. Calcule n(A ∪ B).

2) Sabendo que n(A ∪ B) = 40, n(A) = 25 e n(B) = 22, determine n(A ∩ B).

3) Em uma turma de 35 alunos, 20 gostam de Matemática, 17 gostam de Física e 4 não gostam de nenhuma das duas disciplinas. Quantos alunos gostam das duas?

4) Sejam A e B dois conjuntos com n(A) = 12 e n(B) = 9. a) Qual é o maior valor possível de n(A ∪ B)? b) E o menor valor possível?

5) Os conjuntos A, B e C são tais que n(A) = 30, n(B) = 25, n(C) = 20, n(A ∩ B) = 12, n(A ∩ C) = 9, n(B ∩ C) = 7 e n(A ∩ B ∩ C) = 4. Determine n(A ∪ B ∪ C).

6) Uma pesquisa com 200 consumidores perguntou sobre o uso de três marcas, A, B e C. Foram obtidos os seguintes resultados, já incluindo quem usa as três marcas: 90 usam A, 80 usam B, 60 usam C, 30 usam A e B, 25 usam A e C, 20 usam B e C e 10 usam as três. a) Quantos consumidores não usam nenhuma das três marcas? b) Quantos usam apenas uma delas?

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Gabarito Comentado

1) Aplicando a fórmula: n(A ∪ B) = 18 + 15 − 6 = 27.

2) Isolando a intersecção: n(A ∩ B) = n(A) + n(B) − n(A ∪ B) = 25 + 22 − 40 = 7.

3) Como 4 alunos não gostam de nenhuma das duas, os que gostam de pelo menos uma são 35 − 4 = 31, ou seja, n(M ∪ F) = 31. Pela fórmula, 31 = 20 + 17 − n(M ∩ F). Logo, n(M ∩ F) = 37 − 31 = 6 alunos. Para conferir: 14 gostam só de Matemática, 11 só de Física, 6 de ambas e 4 de nenhuma, e 14 + 11 + 6 + 4 = 35.

4) a) O maior valor ocorre quando A e B são disjuntos, isto é, n(A ∩ B) = 0. Assim, n(A ∪ B) = 12 + 9 = 21. b) O menor valor ocorre quando B está contido em A, isto é, n(A ∩ B) = 9. Dessa forma, n(A ∪ B) = 12 + 9 − 9 = 12. Portanto, 12 ≤ n(A ∪ B) ≤ 21.

5) n(A ∪ B ∪ C) = 30 + 25 + 20 − 12 − 9 − 7 + 4 = 75 − 28 + 4 = 51.

6) a) n(A ∪ B ∪ C) = 90 + 80 + 60 − 30 − 25 − 20 + 10 = 165. Logo, não usam nenhuma marca 200 − 165 = 35 consumidores. b) Primeiro, achamos as regiões de dois conjuntos sem o centro: só A e B = 30 − 10 = 20; só A e C = 25 − 10 = 15; só B e C = 20 − 10 = 10. Em seguida, calculamos as regiões exclusivas: só A = 90 − 20 − 15 − 10 = 45; só B = 80 − 20 − 10 − 10 = 40; só C = 60 − 15 − 10 − 10 = 25. Portanto, usam apenas uma marca 45 + 40 + 25 = 110 consumidores. Conferindo: 45 + 40 + 25 + 20 + 15 + 10 + 10 = 165.

Videoaula sobre o Número de Elementos da União

Agora, convido vocês a dar uma olhada no vídeo que deixo logo abaixo. Nele, é possível revisar as operações de união e intersecção entre os conjuntos e, de quebra, resolver comigo uma questão prática sobre o número de elementos da união.

E se você quer mais resoluções e dicas rápidas, inscreva-se no canal do Professor Ferretto no YouTube e acompanhe o Instagram @professorferretto.

Perguntas Frequentes sobre o Número de Elementos da União

Qual é a fórmula do número de elementos da união de dois conjuntos?

É n(A ∪ B) = n(A) + n(B) − n(A ∩ B). Ou seja, somamos o número de elementos de cada conjunto e subtraímos o número de elementos da intersecção, para não contar duas vezes o que é comum aos dois.

Por que subtraímos n(A ∩ B) na fórmula da união?

Porque os elementos que pertencem a A e a B ao mesmo tempo são contados uma vez em n(A) e outra vez em n(B). Assim, a soma n(A) + n(B) repete esses elementos, e a subtração de n(A ∩ B) corrige a contagem.

Qual é a fórmula do número de elementos da união de três conjuntos?

É n(A ∪ B ∪ C) = n(A) + n(B) + n(C) − n(A ∩ B) − n(A ∩ C) − n(B ∩ C) + n(A ∩ B ∩ C). Somamos os três conjuntos, subtraímos as intersecções de dois a dois e, por fim, somamos a intersecção dos três.

Qual é a fórmula quando os conjuntos são disjuntos?

Se A e B são disjuntos, a intersecção é vazia e n(A ∩ B) = 0. Portanto, n(A ∪ B) = n(A) + n(B).

Como calcular n(A ∩ B) quando conheço n(A ∪ B)?

Basta isolar a intersecção na fórmula: n(A ∩ B) = n(A) + n(B) − n(A ∪ B). Por exemplo, com n(A) = 14, n(B) = 11 e n(A ∪ B) = 20, temos n(A ∩ B) = 5.

Esse assunto cai no Enem e nos vestibulares?

Costuma aparecer em problemas de contagem, como pesquisas de opinião e grupos de alunos que praticam esportes ou estudam idiomas, em geral resolvidos com diagrama de Venn. Para ver a incidência de cada tema nas últimas provas, consulte o ENEM’s Anatomy.

Continue Aprendendo sobre Conjuntos

Agora que você domina a contagem de elementos, aprofunde cada assunto nos textos do blog:

• Operações com Conjuntos: União, Intersecção, Diferença e Complementar: visão geral das quatro operações, com tabela-resumo e exercícios.
• União e Intersecção de Conjuntos: definições, propriedades e exemplos resolvidos.
• Diferença entre dois Conjuntos: A − B, B − A e exercícios com gabarito.
• Complementar de um Conjunto: notação, macetes e Leis de De Morgan.
• Subconjuntos e Conjunto das Partes: relação de inclusão e conjuntos disjuntos.
• Teoria dos Conjuntos: o que é, símbolos, tipos e exercícios: o ponto de partida do assunto.

Resumo e Dica Final sobre o Número de Elementos da União

Em resumo, o número de elementos da união segue sempre a mesma lógica: somar e descontar o que foi contado em duplicidade.

• Dois conjuntos: n(A ∪ B) = n(A) + n(B) − n(A ∩ B).
• Dois conjuntos disjuntos: n(A ∪ B) = n(A) + n(B).
• Três conjuntos: soma-se cada conjunto, subtraem-se as intersecções de dois a dois e soma-se a intersecção dos três.

Portanto, a dica final é simples: na dúvida, desenhe os conjuntos na forma de diagrama de Venn e comece pelo centro. Com as regiões preenchidas, a contagem fica muito mais fácil.

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Um abraço, pessoal! Até mais!