Quadrilátero inscrito na circunferência

Podemos dizer que um quadrilátero está inscrito em uma circunferência, quando todos os 4 vértices desse polígono de 4 lados tocam o seu segmento. Pode não parecer, mas esse fenômeno matemático dá origem a uma propriedade muito interessante, que torna este texto imperdível!

 

Olá, pessoal! Tudo bem com vocês?

Estamos aqui novamente para estudar mais um belíssimo conceito que a geometria plana nos traz. É verdade que diversas figuras geométricas podem se inscrever na circunferência, mas quando isso ocorre com o quadrilátero, os seus ângulos internos se comportam de uma maneira muito interessante. Querem descobrir que maneira é essa? Então, sigam comigo!

Vamos começar? Mal posso esperar para mostrar para vocês como entender e aplicar o conceito de quadrilátero inscrito na circunferência.

 

1. Propriedade do Quadrilátero Inscrito

Se um quadrilátero está inscrito em uma circunferência, então os seus ângulos opostos são suplementares.

Dois ângulos são suplementares, quando juntos somam 180º. Assim, podemos concluir que no caso apresentado na imagem acima, os ângulos dos vértices A e C, e B e D são suplementares.

 

E não é que as duas somas dos ângulos opostos do quadrilátero inscrito na circunferência resultam em 180˚? Então é válido afirmarmos que uma soma é igual a outra, não é mesmo? Isso nos leva a seguinte fórmula:

Também podemos visualizar este contexto de um segundo ponto de vista. Para que um quadrilátero possa ser inscrito a uma circunferência, os seus ângulos opostos devem, necessariamente, ser suplementares. De outra forma, ou seja, sem atender a essa condição, não haveria como inscrever um polígono de 4 lados em uma circunferência.

Feito, pessoal? Depois de analisarmos essa propriedade, nada é melhor do que partirmos logo para um exercício. Através deste exemplo, nós vamos consolidar o conhecimento quanto ao quadrilátero inscrito, e de quebra, revisaremos outros conceitos relacionados aos ângulos na circunferência. Vem comigo!

 

2. Exercício Resolvido

Determine o valor de x na figura abaixo, sabendo-se que o arco AB mede 100º.

Humm, parece que nesse caso temos a presença duas figuras geométricas conhecidas dentro da circunferência. Uma delas é o nosso quadrilátero, claro, e a outra um triângulo! Bom, o jeito é começar pela informação que nos foi dada no enunciado: o arco AB mede 100º.

Segundo o que vimos no texto Elementos da circunferência e do círculo, um arco é a porção compreendida entre quaisquer dois pontos de uma circunferência. Isso significa que o arco AB, é a porção da circunferência compreendida entre os pontos A e B.

Agora, convido vocês a repararem com atenção neste triângulo presente na figura. Um de seus lados é coincidente com um dos lados do quadrilátero inscrito, enquanto os outros dois se unem exatamente no centro da circunferência, cujo ponto nós denominaremos O. Ora, se esses dois lados são segmentos que saem do centro da circunferência, e vão até a sua borda, significa que ambos possuem comprimento equivalente ao raio da circunferência. E se um triângulo tem dois lados iguais, ele só pode ser um triângulo isósceles!

Um triângulo isósceles não possui somente dois lados iguais, como também possui dois ângulos iguais! Isso nos leva a encontrar mais um ângulo do sistema, como mostra a imagem seguinte.

Levando em conta a famosa propriedade que diz que a soma dos ângulos internos de qualquer triângulo é sempre 180º, podemos encontrar o valor do ângulo Ô:

 

 

Ângulo Central na Circunferência: Relembre o Conceito

Calma, pessoal! Antes de entendermos como o quadrilátero inscrito na circunferência vai contribuir para o desenrolar dessa questão, precisamos relembrar dois conceitos muito importantes já vistos aqui no blog. Um deles é o de ângulo central a circunferência. Segundo o texto que aborda o assunto, um ângulo central é aquele cujo vértice se localiza exatamente no centro da circunferência.

E não é que o ângulo Ô pode ser visto como um ângulo central? Pois bem, o arco correspondente a esse ângulo, é justamente aquele que inicia no ponto B, e vai até o ponto C, que nomeamos na imagem acima. Mas o melhor de tudo ainda está por vir: segundo o texto Ângulo central e ângulo inscrito na circunferência, a medida de um arco de circunferência é igual à medida do ângulo central correspondente.

E aí, tudo certo até aqui, pessoal? Fiquem tranquilos, estamos quase lá! Lembram que eu falei de dois conceitos importantes que precisávamos lembrar? Pois então, um deles era o ângulo central, e o outro é o ângulo inscrito na circunferência.

 

Ângulo Inscrito na Circunferência: Aplicando ao Exercício

O ângulo inscrito é aquele cujo vértice se localiza na circunferência e cujos lados são secantes a ela. Tendo esse conceito em vista, podemos perceber que cada vértice do quadrilátero inscrito na circunferência é na verdade o vértice de um ângulo inscrito. E agora, alguém aí arrisca o que isso tem a ver com tudo que havíamos analisado anteriormente?

Pois bem, o ângulo inscrito cujo vértice é o ponto que chamamos de D, possui um arco correspondente cujo valor conhecemos, 200º. Esse arco é equivalente a soma dos arcos AB e BC! E não é que o texto Ângulo central e ângulo inscrito a circunferência vai nos ajudar novamente? Claro, segundo este texto, o ângulo inscrito é equivalente a metade da medida do seu arco correspondente, em termos de ângulo.

Assim, podemos concluir que o ângulo do vértice D é igual a 100º, a metade de 200º. Essa informação é de extrema importância para nós, já que dessa forma, temos o conhecimento de dois ângulos do quadrilátero inscrito: o do vértice D, 100º, e o do vértice B, 40º + x. E se eu disser para vocês que esses dois ângulos são opostos, e portanto, suplementares? Sim, finalmente chegou o momento de aplicarmos a propriedade do quadrilátero inscrito na circunferência!

 

3. Exercícios Propostos

Agora que você já entendeu a propriedade do quadrilátero inscrito na circunferência e viu como ela se aplica na prática, que tal testar o seu conhecimento? Resolva os dois exercícios propostos a seguir e, na sequência, confira a resolução comentada de cada um.

 

Exercício Proposto 1

Um quadrilátero MNPQ está inscrito em uma circunferência. Os ângulos internos dos vértices M e P, que são opostos entre si, medem, respectivamente, (2x + 15°) e (3x + 5°). Determine o valor de x e a medida de cada um desses dois ângulos.

Resolução:

Como M e P são vértices opostos de um quadrilátero inscrito na circunferência, esses ângulos são suplementares. Assim, podemos escrever:

(2x + 15°) + (3x + 5°) = 180°

5x + 20° = 180° → 5x = 160° → x = 32°

Logo, o ângulo do vértice M mede 2 · 32° + 15° = 79°, e o ângulo do vértice P mede 3 · 32° + 5° = 101°. Por conseguinte, 79° + 101° = 180°, o que confirma que a propriedade foi aplicada corretamente.

 

Exercício Proposto 2

Um quadrilátero RSTU está inscrito em uma circunferência. Sabendo que o arco RST (que não passa pelo ponto U) mede 210°, determine a medida do ângulo interno do vértice U e, em seguida, a medida do ângulo interno do vértice S, que é oposto a U.

Resolução:

O ângulo do vértice U é um ângulo inscrito, e o seu arco correspondente é justamente o arco RST, que mede 210°. Dessa forma, como todo ângulo inscrito equivale à metade do seu arco correspondente, temos:

U = 210° ÷ 2 = 105°

Como U e S são ângulos opostos do quadrilátero inscrito, eles também são suplementares. Portanto:

S = 180° − 105° = 75°

 

Perguntas Frequentes sobre Quadrilátero Inscrito na Circunferência

O que é um quadrilátero inscrito na circunferência?

Um quadrilátero está inscrito em uma circunferência quando os seus 4 vértices tocam exatamente o segmento dessa circunferência. Nesse caso, esse quadrilátero também pode ser chamado de cíclico ou inscritível.

Qual é a propriedade dos ângulos de um quadrilátero inscrito na circunferência?

A propriedade principal é que os ângulos opostos de um quadrilátero inscrito são sempre suplementares, ou seja, a soma de cada par de ângulos opostos é igual a 180°. Essa relação vale tanto para o par formado pelos vértices A e C quanto para o par formado pelos vértices B e D.

Todo quadrilátero pode ser inscrito em uma circunferência?

Não. Apenas quadriláteros cujos ângulos opostos somam 180° podem ser inscritos em uma circunferência. Por isso, todo quadrado e todo retângulo são sempre inscritíveis, já que os quatro ângulos internos dessas figuras medem 90° e, assim, qualquer par de ângulos opostos soma 180°. Já um losango ou um paralelogramo qualquer só são inscritíveis quando também forem um retângulo, isto é, quando todos os seus ângulos internos forem retos; do contrário, a condição de suplementaridade não se cumpre.

Qual é a diferença entre quadrilátero inscrito e quadrilátero circunscrito?

No quadrilátero inscrito, os 4 vértices tocam a circunferência, e a condição é que os ângulos opostos sejam suplementares. Já no quadrilátero circunscrito, é a circunferência que fica internamente tangente aos 4 lados do quadrilátero, e a condição, nesse caso, envolve os lados: a soma de dois lados opostos deve ser igual à soma dos outros dois lados opostos. Portanto, são propriedades distintas, aplicadas a configurações geométricas diferentes.

Como descobrir a medida de um ângulo desconhecido em um quadrilátero inscrito?

Basta identificar o ângulo oposto ao ângulo desconhecido e aplicar a propriedade dos ângulos suplementares, subtraindo a medida conhecida de 180°. Quando o valor de um ângulo não é dado diretamente, mas sim o arco correspondente a um ângulo inscrito, é preciso primeiro dividir a medida desse arco por 2, como fizemos ao longo deste texto, para só então aplicar a suplementaridade.

 

Quadrilátero Inscrito na Circunferência: Resumo e Próximos Passos

Ufa, essa não foi fácil! É que a geometria plana gosta mesmo de envolver vários conceitos dentro de um único exercício. Mas não tem problema, nós vamos aprender tudo o que envolve os ângulos na circunferência aqui no blog! Não deixem de acompanhar todos os posts e de revisar o conteúdo através do vídeo que deixo aqui embaixo. Vamos juntos acabar com as dúvidas em matemática!

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Espero que vocês tenham gostado deste texto, pessoal! Antes de ir, assista o vídeo no YouTube do Professor Ferretto abaixo para fixar a matéria e turbine seus estudos! Até o próximo post!