Como determinar a quantidade de Divisores de um Número

Resposta rápida: para determinar a quantidade de divisores positivos de um número, basta fatorá-lo em números primos, somar 1 a cada expoente e multiplicar os resultados. Em fórmula: se N = p₁^a · p₂^b · p₃^c ⋯ (com p₁, p₂, p₃, … primos distintos), então a quantidade de divisores de N é (a + 1) · (b + 1) · (c + 1) ⋯. Por exemplo, 6045 = 3 · 5 · 13 · 31 possui (1 + 1) · (1 + 1) · (1 + 1) · (1 + 1) = 16 divisores.

Olá, pessoal! Tudo certo?

Se vocês chegaram até aqui hoje, é porque desejam saber como encontrar a quantidade de divisores de um número inteiro positivo, não é mesmo? Pois então, saibam que vieram ao lugar certo! Neste texto, vou mostrar um passo a passo que tornará simples a busca pelo número de divisores de qualquer valor, mesmo que ele seja gigantesco! E o melhor de tudo, é que na sequência também vamos resolver uma série de exercícios. Assim, todos vocês estarão preparados para as provas do ENEM e dos vestibulares que tratarem do assunto!

Feito, pessoal?! Então, vamos começar! Peguem seus materiais de estudo e venham comigo!

O que são divisores de um número?

Antes de aprender a contar, vale lembrar o que exatamente estamos contando. Um número natural é divisor de outro quando a divisão do segundo pelo primeiro é exata, ou seja, quando o resto é zero. Por exemplo, 6 é divisor de 24, pois 24 ÷ 6 = 4, sem resto. Dessa forma, também dizemos que 24 é múltiplo de 6.

Alguns fatos valem para qualquer número natural maior que 1: o 1 é o divisor universal (ele divide todo mundo) e o maior divisor é sempre o próprio número. Logo, o conjunto dos divisores de um número é finito, ao contrário do conjunto dos múltiplos. Além disso, os números que têm apenas dois divisores (o 1 e ele mesmo) são os números primos, enquanto os que têm mais de dois divisores são chamados de compostos.

Neste artigo, vamos trabalhar apenas com os divisores positivos de números naturais, que é o que costuma aparecer no ENEM e nos vestibulares.

Como listar os divisores de um número

Existem dois caminhos principais para listar todos os divisores de um número. Os dois nos ajudam a entender por que o método de contagem que veremos adiante funciona.

Listando os divisores pelos pares de fatores

A ideia é procurar os pares de números cujo produto é igual ao número dado. Começamos por 1 × N e seguimos testando 2, 3, 4… até que os fatores se encontrem. Veja como fica com o número 36:

Par de fatores	Divisores encontrados
1 × 36	1 e 36
2 × 18	2 e 18
3 × 12	3 e 12
4 × 9	4 e 9
6 × 6	6 (conta uma vez só)

 

Portanto, os divisores de 36 são 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18 e 36, isto é, 36 tem 9 divisores. Repare que o par 6 × 6 gera um único divisor; isso sempre acontece quando o número é um quadrado perfeito. Para decidir rapidamente quais números testar, os critérios de divisibilidade são grandes aliados.

Listando os divisores pela fatoração em primos

Esse caminho é mais organizado, principalmente para números grandes. Fatoramos o número e combinamos seus fatores primos, usando cada um deles de 0 até o seu expoente. Vamos listar os divisores de 12 = 2² · 3¹:

	Com 30 (sem o fator 3)	Com 31
20	20 · 30 = 1	20 · 31 = 3
21	21 · 30 = 2	21 · 31 = 6
22	22 · 30 = 4	22 · 31 = 12

 

Logo, os divisores de 12 são 1, 2, 3, 4, 6 e 12: seis divisores. Observe que o expoente do 2 teve 3 possibilidades (0, 1 ou 2) e o expoente do 3 teve 2 possibilidades (0 ou 1), e 3 × 2 = 6. Essa é justamente a pista do método que vem a seguir!

Como determinar a quantidade de divisores de um número: passo a passo

Quando o número é grande, listar todos os divisores é trabalhoso e favorece erros. Por isso, existe um método muito mais rápido, que usa apenas a forma fatorada do número. Em linguagem matemática, se N = p₁^a · p₂^b · p₃^c ⋯ p_k^m, com p₁, p₂, p₃, …, p_k primos distintos, então a quantidade de divisores positivos de N é:

d(N) = (a + 1) · (b + 1) · (c + 1) ⋯ (m + 1)

Para aplicar essa fórmula, basta seguir três passos. Vamos conhecê-los usando como exemplo o número 6045.

1º passo: realizar a decomposição em fatores primos do número desejado

Dividimos 6045 sucessivamente pelos menores números primos possíveis: 6045 ÷ 3 = 2015; 2015 ÷ 5 = 403; 403 ÷ 13 = 31; e 31 ÷ 31 = 1. Portanto, 6045 = 3 · 5 · 13 · 31.

Quando um número é reescrito na sua forma fatorada, ficam evidentes os expoentes dos fatores primos gerados. Esses expoentes serão muito importantes para o próximo passo que deveremos seguir. Por isso, se vocês não conseguiram enxergar nenhum expoente nos fatores acima, fiquem atentos a super dica ninja que eu mostro logo abaixo.

Dica ninja do Ferretto: quando o expoente não aparece, significa que ele vale 1. Assim, 6045 = 3¹ · 5¹ · 13¹ · 31¹.

2º passo: somar uma unidade ao expoente de cada fator primo

Somando 1 ao expoente de cada fator de 3¹ · 5¹ · 13¹ · 31¹, obtemos (1 + 1), (1 + 1), (1 + 1) e (1 + 1), isto é, quatro números 2. Fazemos isso porque cada fator primo pode aparecer em um divisor com expoente 0, 1, 2… até o expoente que ele tem no número original: um expoente a oferece, portanto, a + 1 possibilidades.

3º passo: multiplicar todos os valores obtidos

Multiplicando os resultados do passo anterior, temos 2 · 2 · 2 · 2 = 16. Portanto, 6045 possui 16 divisores.

Viram como é fácil? Descobrir a quantidade de divisores de qualquer número inteiro depende basicamente do processo de fatoração. Nesse sentido, algo que pode nos ajudar muito a agilizar as resoluções são os famosos critérios de divisibilidade, aquelas regrinhas que nos permitem determinar facilmente se um número é divisível por 2, 3, 5, 7 ou 11, e também por outros tantos números que não são primos.

Quer treinar a base antes de seguir? Cadastre-se gratuitamente nos Cursos Gratuitos completos de Matemática, Física e Química básica do Professor Ferretto e fortaleça os conteúdos que mais ajudam em questões como esta. Se preferir ler antes, veja como funciona o curso gratuito de Matemática Básica do Professor Ferretto.

Por que a quantidade de divisores é o produto dos expoentes mais um?

Se você quer entender o motivo da fórmula, o raciocínio é simples e usa o princípio multiplicativo da contagem. Todo divisor de N é formado pelos mesmos fatores primos de N, só que cada um com expoente variando de 0 até o expoente que ele possui em N.

Por exemplo, os divisores de 20 = 2² · 5¹ têm a forma 2^m · 5ⁿ, com m ∈ {0, 1, 2} e n ∈ {0, 1}. Como existem 3 escolhas para m e 2 escolhas para n, e as escolhas são independentes, temos 3 · 2 = 6 divisores: 1, 2, 4, 5, 10 e 20. Por conseguinte, para cada fator primo com expoente a existem (a + 1) escolhas de expoente, e a quantidade total de divisores é o produto de todas essas quantidades de escolhas.

Exercícios resolvidos

Quantos divisores possui o número 6?

Calma, pessoal! Eu sei que é fácil determinar quantos divisores tem o número 6, mesmo sem realizar todo o processo que acabamos de aprender. Por isso, na verdade, nós vamos utilizar esse exemplo para comprovar que o método funciona! Pensem só: 6 pode ser dividido por 1, que é o divisor universal, por ele mesmo, e também pode ser definido como a multiplicação de 2 por 3, o que nos permite concluir que é divisível por esses dois fatores. 1, 2, 3 e 6: são 4 divisores!

Resolução: 6 = 2¹ · 3¹. Somando 1 aos expoentes: (1 + 1) · (1 + 1) = 2 · 2 = 4 divisores.

Mas que interessante! Não é que 6 tem 4 divisores mesmo? Isso nos mostra que o método não tem erro! Contudo, para quem ainda está desconfiado, aí vai mais um exemplo!

Quantos divisores possui o número 20?

Resolução: 20 ÷ 2 = 10; 10 ÷ 2 = 5; 5 ÷ 5 = 1. Logo, 20 = 2² · 5¹. Somando 1 aos expoentes: (2 + 1) · (1 + 1) = 3 · 2 = 6 divisores.

Para confirmarmos que 20 possui 6 divisores, podemos pensar num conceito parecido com o que sugerimos no exemplo anterior: o produto entre dois fatores que gera o valor numérico 20. Aí é só lembrar da conhecida tabuada: 2 × 10, 4 × 5, 5 × 4, 10 × 2, todas essas multiplicações dão origem a 20! Isso nos permite concluir que 2, 4, 5 e 10 são divisores de 20, além do 1, o divisor universal, e também do próprio número, o 20. 1, 2, 4, 5, 10 e 20: são 6 divisores!

Quantos divisores possui o número 90?

Agora ficou um pouco mais complicado definir quantos divisores tem o número 90 sem aplicarmos os passos que estamos estudando neste texto, não é mesmo? Sem problema algum, afinal, já sabemos que o método funciona. Hora de aplicá-lo mais uma vez!

Resolução: 90 ÷ 2 = 45; 45 ÷ 3 = 15; 15 ÷ 3 = 5; 5 ÷ 5 = 1. Logo, 90 = 2¹ · 3² · 5¹. Somando 1 aos expoentes: (1 + 1) · (2 + 1) · (1 + 1) = 2 · 3 · 2 = 12 divisores.

Podemos aproveitar este exemplo para lembrar de mais um detalhe bem importante: ao realizar a decomposição de um número em fatores primos, não é extremamente necessário manter a ordem crescente entre os fatores. Poderíamos, por exemplo, ter realizado a decomposição do número 90 da maneira que vocês veem abaixo (dividindo por 3, depois por 3, depois por 2 e por fim por 5). No fim das contas, a sua forma fatorada continua sendo o produto entre 2, 3 elevado ao quadrado e 5, olhem só!

Bom, parece que 90 possui mesmo 12 divisores. Assim, antes de seguirmos para o próximo exercício, deixo para vocês uma tarefa de casa. Comprovem este resultado encontrando todos os divisores de 90. Começar por 1, o divisor universal, por ele mesmo, e por produtos que gerem esse valor, pode ser um ótimo caminho!

Conferiu? Os 12 divisores de 90 são 1, 2, 3, 5, 6, 9, 10, 15, 18, 30, 45 e 90. Pelos pares de fatores, eles surgem assim: 1 × 90, 2 × 45, 3 × 30, 5 × 18, 6 × 15 e 9 × 10.

Quantos divisores possui o número 980?

Agora complicou um pouquinho, já que estamos trabalhando com um número de valor mais elevado. Mas se vocês utilizarem os critérios de divisibilidade, eu garanto, dá para otimizar bastante o processo. Acompanhem comigo!

980 e 490 são números pares, por isso, certamente são divisíveis por 2. No entanto, ao chegarmos em 245, poderíamos ter dúvida sobre qual fator primo utilizar. Realizando a soma entre os algarismos de 245 (2 + 4 + 5), temos o valor 11, que não é divisível por 3. Assim, é fato que 245 também não é divisível por 3. Mas a boa notícia é que 245 termina em 5, o que nos permite concluir que 245 é divisível por 5! Pronto, depois disso ficou fácil terminar a fatoração.

Resolução: 980 ÷ 2 = 490; 490 ÷ 2 = 245; 245 ÷ 5 = 49; 49 ÷ 7 = 7; 7 ÷ 7 = 1. Logo, 980 = 2² · 5¹ · 7². Somando 1 aos expoentes: (2 + 1) · (1 + 1) · (2 + 1) = 3 · 2 · 3 = 18 divisores.

Quem diria que 980 pudesse ter tantos divisores? E o melhor, quem diria que seria tão fácil determinar essa quantidade? Para celebrar essa conquista, nada mais sensato do que fecharmos o texto com um clássico dos vestibulares. Vem comigo aqui!

Exercício clássico de vestibulares

Se o número 2³ · 3² · 5^x tem exatamente 24 divisores positivos, então esse número é:

Para não nos confundirmos com os dados do enunciado, vamos interpretá-lo com calma. Nós já temos um certo número N escrito na sua forma fatorada, e sabemos quantos divisores esse número tem. Ora, se a quantidade de divisores de um número pode ser definida como o produto entre os expoentes dos fatores primos que o definem, acrescidos de uma unidade, podemos começar somando uma unidade a cada expoente que nos é dado, para depois multiplicarmos esses resultados. Isso só poderá ser igual a 24!

(3 + 1) · (2 + 1) · (x + 1) = 24

4 · 3 · (x + 1) = 24

12 · (x + 1) = 24

x + 1 = 24 ÷ 12 = 2

x = 2 − 1 = 1

Acabamos de descobrir o valor numérico do expoente de um dos fatores primos que definem o número N que estamos procurando. Agora ficou mais fácil: basta realizar o produto entre esses fatores, e chegaremos à solução do caso.

N = 2³ · 3² · 5^x

N = 2³ · 3² · 5¹

N = 8 · 9 · 5

N = 360

Exercícios propostos com gabarito

Agora é a vez de vocês! Tentem resolver antes de olhar o gabarito comentado.

1. Quantos divisores positivos possui o número 72?
2. Quantos divisores positivos possui o número 1000?
3. O número 2⁴ · 3^x · 5 tem exatamente 40 divisores positivos. Qual é o valor de x?
4. Qual é o menor número natural que possui exatamente 6 divisores?
5. Quantos divisores pares possui o número 180?

Gabarito comentado

1) 72 = 2³ · 3². Logo, (3 + 1) · (2 + 1) = 4 · 3 = 12 divisores.

2) 1000 = 2³ · 5³. Logo, (3 + 1) · (3 + 1) = 4 · 4 = 16 divisores.

3) (4 + 1) · (x + 1) · (1 + 1) = 40, ou seja, 5 · 2 · (x + 1) = 40. Assim, x + 1 = 4 e x = 3. O número é 2⁴ · 3³ · 5 = 2160.

4) Como 6 = 6 · 1 = 3 · 2, só há dois formatos possíveis: p⁵ (quantidade de divisores = 5 + 1 = 6) ou p² · q (quantidade = 3 · 2 = 6). O menor número do primeiro formato é 2⁵ = 32, e o menor do segundo é 2² · 3 = 12. Portanto, o menor número é 12, cujos divisores são 1, 2, 3, 4, 6 e 12.

5) 180 = 2² · 3² · 5¹. Todo divisor par precisa ter pelo menos um fator 2, então o expoente do 2 só pode ser 1 ou 2 (2 escolhas); o do 3 pode ser 0, 1 ou 2 (3 escolhas); e o do 5 pode ser 0 ou 1 (2 escolhas). Logo, 2 · 3 · 2 = 12 divisores pares. (Confirmação: 180 tem 18 divisores no total e 6 são ímpares; 18 − 6 = 12.)

Divisores pares e ímpares: como adaptar o método

Em provas, é comum que a banca peça apenas uma parte dos divisores. A boa notícia é que o raciocínio do “expoente mais um” continua valendo, com um pequeno ajuste. Todo divisor par precisa ter pelo menos um fator 2, enquanto todo divisor ímpar não pode ter nenhum fator 2. Dessa forma, usando 360 = 2³ · 3² · 5¹ como exemplo:

Tipo de divisor	Como contar	Resultado para 360
Todos	(3 + 1) · (2 + 1) · (1 + 1)	4 · 3 · 2 = 24
Ímpares (sem fator 2)	Ignore o fator 2 e use os demais: (2 + 1) · (1 + 1)	3 · 2 = 6
Pares (com fator 2)	Use o expoente do 2 sem somar 1: 3 · (2 + 1) · (1 + 1)	3 · 3 · 2 = 18

 

Como conferência, 6 + 18 = 24. Os 6 divisores ímpares de 360 são 1, 3, 5, 9, 15 e 45.

Erros mais comuns ao contar divisores

• Esquecer de somar 1: em 2³ · 3², o correto é (3 + 1) · (2 + 1) = 12, e não 3 · 2 = 6.
• Ignorar o expoente 1 “escondido”: o fator 5 em 360 = 2³ · 3² · 5 tem expoente 1, logo entra como (1 + 1) = 2.
• Parar a fatoração antes da hora: 30 · 4 não é uma fatoração em primos. Só aplique a fórmula quando todos os fatores forem primos.
• Contar o mesmo primo duas vezes: se o 3 aparece duas vezes, escreva 3² e use um único (2 + 1).

Resumo: quantidade de divisores dos números deste artigo

Número	Forma fatorada	Cálculo	Divisores
6	21 · 31	2 · 2	4
12	22 · 31	3 · 2	6
20	22 · 51	3 · 2	6
36	22 · 32	3 · 3	9
90	21 · 32 · 51	2 · 3 · 2	12
360	23 · 32 · 51	4 · 3 · 2	24
980	22 · 51 · 72	3 · 2 · 3	18
6045	31 · 51 · 131 · 311	2 · 2 · 2 · 2	16

Perguntas frequentes sobre a quantidade de divisores de um número

Como calcular a quantidade de divisores de um número?

Fatore o número em primos, some 1 a cada expoente e multiplique os resultados. Por exemplo, 360 = 2³ · 3² · 5¹ tem (3 + 1) · (2 + 1) · (1 + 1) = 24 divisores.

Por que somamos 1 aos expoentes?

Porque cada fator primo pode aparecer em um divisor com expoente 0, 1, 2 e assim por diante, até o expoente que ele tem no número. Um fator com expoente a oferece, portanto, a + 1 possibilidades, já contando o expoente 0, que “retira” aquele fator do divisor.

Quantos divisores tem um número primo?

Exatamente dois: o 1 e ele mesmo. Pela fórmula, um primo p = p¹ tem (1 + 1) = 2 divisores. Já o número 1 tem apenas um divisor: ele próprio.

Quando um número tem uma quantidade ímpar de divisores?

Somente quando ele é um quadrado perfeito, como 36, que tem 9 divisores. Nesse caso, todos os expoentes da fatoração são pares e, logo, cada (expoente + 1) é ímpar, o que torna o produto ímpar. Nos demais números, a quantidade de divisores é par.

Como contar apenas os divisores pares ou ímpares?

Para os ímpares, ignore o fator 2 e aplique o método aos demais fatores. Para os pares, mantenha o fator 2, mas use o expoente dele sem somar 1 (ou subtraia a quantidade de ímpares do total). Em 360 = 2³ · 3² · 5, há 6 divisores ímpares e 18 pares.

Os divisores negativos entram na contagem?

Neste método contamos apenas os divisores positivos. Se o enunciado falar em divisores inteiros de um número inteiro, cada divisor positivo tem um oposto negativo, e a quantidade dobra: o número 6 tem 4 divisores positivos e 8 divisores inteiros (±1, ±2, ±3 e ±6). Para relembrar a diferença entre os conjuntos, leia sobre números naturais e inteiros.

Videoaula: como determinar a quantidade de divisores de um número

E como sempre, deixo em anexo um vídeo que complementa todos os conceitos que vimos aqui. Fica o convite para quem quiser assistir, revisar a matéria e decompor alguns números comigo, é bem rapidinho! Para ver mais videoaulas de Matemática, acompanhe o canal do Professor Ferretto no YouTube e o perfil no Instagram.

Resumo e dicas finais para determinar a quantidade de divisores

Entendido, pessoal? Vejam como a matemática pode ser simples quando usamos as ferramentas certas! Para fixar, lembrem-se dos três passos: (1) fatorar o número em primos; (2) somar 1 a cada expoente; (3) multiplicar os resultados. Por isso, não deixem de acompanhar os demais textos de Matemática Básica no blog. A cada semana, temos novos textos repletos de conteúdo e muitas dicas para vocês!

Para continuar estudando, recomendo também os artigos sobre critérios de divisibilidade, números primos e compostos e MMC (mínimo múltiplo comum).

Gostou deste conteúdo? Então aproveite para turbinar seus estudos com os Cursos Gratuitos do Professor Ferretto, que reúnem Matemática, Física e Química básica de graça!

Deseja ter uma preparação completa em matemática e ciências da natureza? Então conheça os planos e cursos da Plataforma do Professor Ferretto e vem com a gente garantir a sua vaga no ensino superior!

Quer saber quais assuntos mais caem no Enem? Baixe gratuitamente o ENEM’s Anatomy, a análise de incidência dos assuntos mais cobrados nas provas do Enem.

No mais, espero que esse conteúdo os ajude a seguir firmes rumo à realização dos seus sonhos!

Um abração a todos! Até breve!