FUNÇÃO INJETORA

Olá, pessoal! Tudo bem?

Vocês sabiam que as funções matemáticas podem ser classificadas de diversas maneiras? Pois então, aqui no blog, nós já estudamos que existem funções pares e ímpares, e hoje, chegou o momento de aprendermos a identificar quando uma função pode ser dita como injetora ou não. E o mais legal desse assunto, é que essa identificação pode ser feita de 3 formas diferentes: através da característica algébrica da função, da representação do seu domínio e do seu contradomínio em forma de diagrama, e também graficamente! Isso permite que vocês escolham, com tranquilidade, a opção que mais lhes agrada para resolver as famosas questões dos vestibulares que envolvem esse conceito!

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Beleza, pessoal? Então já podemos começar! Abaixo, segue o conceito que vai guiar o nosso texto de hoje.

Uma função f: A ⟶ B é injetora ou injetiva, quando elementos diferentes de A são transformados por f em elementos diferentes de B, ou seja x₁ ≠ x₂ em A ⟹ f (x₁) ≠ f (x₂) em B.

Calma, eu vou explicar direitinho o que essa bela frase quer nos dizer. Tudo começa, quando entendemos o que significa a seguinte definição de função:

Quando uma função é dita como f de A em B, significa que A é o seu conjunto de partida ou o seu domínio, e que B é o seu conjunto de chegada ou o seu contradomínio. Assim, para que uma função seja injetora, elementos diferentes de seu domínio devem resultar em elementos também diferentes de seu contradomínio.

Na imagem acima, nós podemos observar duas funções diferentes, representadas na forma de diagrama. O primeiro detalhe em que devemos reparar, é que de fato ambas são funções, afinal, cada um dos elementos do domínio A, está ligado a um único elemento do contradomínio B, e essa é a condição primordial para que uma função exista. Agora, será mesmo que essas duas funções são injetoras?

Na função representada acima, todos os elementos do domínio A são diferentes, e estão ligados a elementos também diferentes do contradomínio B. Isso significa, que quando aplicamos cada elemento do domínio A na função f, as imagens resultantes são diferentes umas das outras. Temos a nossa frente uma função injetora!

Já nesta segunda função, embora todos os elementos do domínio A sejam diferentes, nem todos eles estão sendo ligados a elementos também diferentes do contradomínio B. Vejam que quando os elementos x₂ e x₃ são aplicados na função f, a mesma imagem y₂ é gerada. Sempre que isso acontecer, a função não poderá ser considerada injetora!

Pessoal, quando uma função é representada na forma de diagrama, fica fácil de determinar se ela é injetora ou não. Basta que vocês fiquem atentos a quantidade de setas que apontam para cada elemento do contradomínio dessa função. Uma função é injetora, apenas quando uma única seta aponta para cada elemento do seu contradomínio.

E agora, para que tudo o que acabamos de ver fique bem claro, vamos a alguns exemplos numéricos. Vem comigo aqui!

E aí, o que acharam desta nova função? Se nós lembrarmos da dica que acabamos de ver, logo percebemos que existem duas setas apontando para um mesmo elemento do contradomínio B. Isso significa que dois elementos do domínio A, 2 e 3, quando aplicados na função f, geram exatamente a mesma imagem, de valor 8. Portanto, essa função não é injetora!

Mas que função mais interessante! Vejam que nesse caso, temos uma única seta chegando em cada elemento do contradomínio B. Isso significa, que cada elemento do domínio A, quando aplicado a função f, gera uma imagem diferente! Portanto, essa função é injetora, ou injetiva.

E para quem ficou pensativo a respeito daquele elemento que restou no contradomínio B da função que acabamos de analisar, é importante lembrarmos o seguinte: para que uma função f de A em B exista, não devem restar elementos sem ligação no domínio da função. Não há problema algum quanto há elementos sem ligação no contradomínio da função. Para saber tudo sobre esse assunto, vocês podem dar uma olhada no texto Noções de função por meio de conjuntos!

Tudo entendido, pessoal? E se eu perguntasse a vocês quais das funções acima são injetoras, o que vocês me diriam? Pois é, vejam que nesse caso, nos foram apresentadas algumas funções na sua forma algébrica, e não na forma de diagrama. Em casos como esse, para averiguarmos se as funções são injetoras ou não, nós devemos substituir a variável x por alguns valores numéricos, e averiguar se os valores de f(x) ou de y resultantes são todos diferentes uns dos outros. Se isso acontecer, a função é injetora, e pronto!

f (x) = x + 1

Observem que nós substituímos a variável x dessa função por alguns valores positivos e negativos. Como a lei de correspondência da função é dada por f(x) = x + 1, sempre iremos acrescentar uma unidade a cada valor que assume o lugar de x, de forma que toda e qualquer imagem obtida será sempre diferente das demais. Isso significa que essa função é injetora!

f (x) = x² + 1

E aí, encontraram alguma diferença dessa função em relação a anterior? Pois então, quando elevamos qualquer número positivo ou negativo a uma potência par, o resultado será sempre positivo! Por isso, valores diferentes de x, como –2 e 2, e –1 e 1, quando aplicados a função f(x), geram exatamente a mesma imagem. Isso nos mostra que essa função não é injetora!

f (x) = 3x

Novamente, quando substituímos a variável x da função por alguns valores positivos e negativos, as imagens obtidas foram sempre diferentes. Segundo a lei de correspondência da função, f(x) = 3x, a imagem de cada elemento do domínio será sempre o triplo do seu valor, de forma que podemos garantir que a função é injetora!

f (x) = 2x⁴

Ops, lá vem uma potência positiva de novo! Nesse caso, quando valores de mesmo módulo mas de sinais contrários substituem o lugar de x, as imagens obtidas são exatamente iguais, por isso, essa função não é injetora! Mas tomem cuidado para não generalizar: não deixem de realizar a substituição da variável x por alguns valores numéricos para comprovar a existência ou não de uma função injetora, mesmo que vocês já tenham uma ideia prévia do que poderá acontecer.

Beleza, pessoal? Então vamos concluir esse texto falando um pouco sobre o comportamento das funções injetoras graficamente. Uma função é injetora, quando valores diferentes de x resultam em valores também diferentes de y. Mas como é possível identificar essa ideia em gráficos como esses que se encontram aqui abaixo?

Nós precisamos garantir que não existam valores repetidos em y, não é mesmo? Assim, se desenharmos retas horizontais paralelas ao eixo x cortando o gráfico em diversos pontos, e alguma dessas retas cortar o gráfico mais do que uma vez, nós saberemos que valores de x diferentes, quando aplicados a função que gerou o gráfico, fazem com que ela resulte no mesmo valor numérico, ou seja, geram a mesma imagem. Aí vocês já sabem que uma função como essa jamais poderá ser injetora.

Para que uma função seja injetora, linhas imaginárias horizontais só podem cruzar o seu gráfico uma única vez.

Olhem só que interessante: uma das linhas imaginárias que traçamos acima cortou o gráfico em 4 pontos diferentes. Isso significa que 4 valores de x diferentes, quando aplicados a função que o gráfico representa, geram exatamente a mesma imagem, ou o mesmo valor em y. Assim, podemos concluir que esse gráfico não caracteriza uma função injetora.

Já nesse segundo caso, nós temos um contexto um pouquinho diferente. Traçamos diversas retas paralelas ao eixo x, mas nenhuma delas cortou o gráfico em mais de ponto. Portanto, esse gráfico com certeza caracteriza uma função injetora!

O gráfico acima representa uma função que nós já vimos por aqui: a f(x) = 3x. Uma função como essa, é conhecida como função do 1º grau, ou função afim, e sempre será representada através de uma reta. Em casos como esse, vejam, não importa quantas linhas horizontais traçarmos: todas elas cruzam o gráfico uma única vez. Por isso podemos dizer mais uma vez que a função f(x) = 3x é sim injetora!

Enquanto isso, o último gráfico que apresentamos neste texto corresponde a uma função do 2º grau, também conhecida como função quadrática, a  f(x) = x² + 1, que também já estudamos por aqui. O formato do gráfico que vemos acima é conhecido como parábola, e olhem só que interessante: praticamente todas as retas horizontais que traçamos cruzam esse gráfico em dois pontos. Ou seja, não há como negar que a função f(x) = x² + 1 não é, nem de longe, injetiva!

Gostaram desse macete? Tenho certeza que aliando todos os conhecimentos que vimos hoje, e treinando bastante, logo logo vai ficar extremamente óbvio para vocês quando uma função é injetora ou não. Assim, posso encerrar o texto por aqui! Espero que ele tenha sido proveitoso para os seus estudos, e que os motive a se dedicar e estudar bastante a matemática! Em anexo, é claro que fica um vídeo em que complemento todos os conceitos que vimos por aqui. Não custa nada dar uma olhadinha nele, não é?

Um abração! Nos vemos em breve!