Diferença entre dois conjuntos

A diferença entre dois conjuntos A e B, é um conjunto formado pelos elementos de A que não pertencem a B. Em outras palavras, pode-se dizer que essa diferença é dada pelos elementos que pertencem exclusivamente a A, quando comparados com os elementos de B.

Olá, pessoal! Como vão?

É verdade que no cotidiano nós costumamos utilizar muito a subtração, que é, inclusive, uma das quatro operações fundamentais da aritmética. Agora, vocês já pensaram algum dia em aplicar essa operação na teoria dos conjuntos? Pois então, saibam que é possível calcular a diferença entre dois conjuntos!

Neste texto, nós vamos entender direitinho o cálculo que envolve essa operação. Faremos também alguns exemplos, de modo a consolidar esse conhecimento. Mas para entendermos com clareza todos os conceitos que serão vistos logo mais, iniciaremos os estudos com uma breve revisão. Ela abordará a forma como dois conjuntos A e B se relacionam quando possuem, ou não, elementos em comum. Vem comigo!

Revisando a Teoria dos Conjuntos

Quando se fala em teoria de conjuntos, a representação na forma de diagrama torna a resolução das operações muito mais simples. Bom, pelo menos é o que acontece na maioria das vezes. Por isso, vamos revisar agora 3 maneiras nas quais dois conjuntos A e B podem se relacionar juntamente a sua representação na forma de diagrama. Acompanhem comigo.

Quando A é subconjunto de B, pode-se dizer que A é parte de B, ou que A está contido em B. Isso significa que todos os elementos de A também pertencem ao conjunto B.

Já quando A e B são conjuntos disjuntos, significa que eles não possuem elementos em comum, ou seja, é um caso em que nenhum elemento de A também pertence a B, e vice-versa.

E por fim, quando os diagramas de A e B estão entrelaçados, significa que estes dois conjuntos possuem apenas alguns elementos em comum.

Entendido, pessoal? Sendo assim, podemos partir com tranquilidade para operação entre conjuntos que aprenderemos hoje. Sigam comigo!

O que é a Diferença entre Dois Conjuntos?

Dados dois conjuntos A e B, chama-se diferença entre A e B, o conjunto formado pelos elementos de A que não pertencem a B.

Em outras palavras, podemos dizer que os elementos que estão no conjunto A, e não fazem parte do conjunto B, formam o conjunto diferença entre A e B (A – B). Já em forma de símbolos, a diferença entre os conjuntos A e B é dada pelo conjunto dos elementos x, tais que esses elementos x pertençam ao conjunto A mas não pertençam ao conjunto B. É isso que aparece no quadro abaixo.

Assim, dá para escrever essa mesma ideia diretamente em símbolos, o que ajuda bastante na hora de resolver questões de prova: A – B = {x | x ∈ A e x ∉ B}.

E aí, o que acharam desta definição? Quando olhamos para o exemplo que o nosso amigo apresenta no quadro, as coisas começam a ficar um pouco mais claras, não é? É por isso que partiremos agora para os famosos exemplos resolvidos! Eles nos possibilitarão enxergar o assunto através de mais alguns pontos de vista. Vem comigo!

Exemplos Resolvidos sobre a Diferença entre Dois Conjuntos

1. Em todos os itens, obtenha o conjunto diferença entre A e B (A – B). Em seguida, encontre também o conjunto diferença entre B e A (B – A).

a. A = {1, 2, 3, 4} e B = {2, 4, 5}

Acabamos de aprender que o conjunto diferença entre A e B é formado pelos elementos que pertencem a A e não pertencem a B. Baseando-se nessa ideia, vocês sabem como resolver essa questão? Fiquem tranquilos, pessoal, a ideia é comparar tudo com a subtração mesmo, como dissemos lá no início do texto. Para conhecer os elementos do conjunto A – B, basta observamos os elementos que pertencem a ambos os conjuntos, e descontá-los, tirá-los, ou riscá-los do conjunto A. Os elementos que restarem formarão o conjunto diferença que tanto buscamos. Vejam só:

Observem que nós literalmente riscamos os elementos que são comuns a ambos os conjuntos. Isso aconteceu porque deveríamos descontar dos elementos de A, todos os elementos que também pertenciam a B. Notem que o conjunto resultante A – B foi formado pelos elementos que pertencem exclusivamente a A.

É claro que para obter o conjunto diferença entre B e A, a lógica precisa ser invertida. Vamos observar novamente os elementos que são comuns a ambos os conjuntos, mas agora vamos riscá-los de B, porque queremos descontar dos elementos de B, todos os elementos que também pertencem a A. Assim, B – A será formado apenas pelos elementos que pertencem exclusivamente a B.

Facilitando a Operação com o Diagrama

Através do diagrama fica ainda mais fácil de compreender a diferença entre os conjuntos A e B, e B e A. No primeiro caso, A – B, estamos descontando ou retirando B. Portanto, basta desconsiderar toda a região dos elementos que pertencem a B. Já no segundo caso, B – A, vejam que quem está sendo subtraído, ou excluído, é o A. Assim, é só desconsiderar toda a região dos elementos que pertencem a A, como mostra a imagem seguinte.

b. A = {a, b, c} e B = {d, e}

Quando A e B São Conjuntos Disjuntos

Agora que já sabemos exatamente o que fazer, podemos determinar os conjuntos A – B e B – A sem rodeios. Mas vejam só que coisa interessante: nesse caso, A e B não possuem elementos em comum, ou seja, eles são conjuntos disjuntos.

Podemos entender melhor o caso quando nos perguntamos: o que acontece quando descontamos ou subtraímos o número zero de qualquer número real? Não há mudança alguma, não é mesmo? Bom, se A e B são disjuntos, existem zero elementos comuns entre eles, ou seja, todos os elementos pertencentes a A já são exclusivos de A. Da mesma forma, os elementos de B também já são exclusivos de B. Por isso, não conseguimos riscar elemento algum nos dois cálculos. Assim, é possível concluir que a diferença entre A e B é o próprio conjunto A, enquanto que a diferença entre B e A é o próprio conjunto B.

c. A = {a, b} e B = {a, b, c}

Quem prestou atenção na revisão logo no início do texto, já percebeu que nesse item A é subconjunto de B, pois todos os seus elementos também pertencem a B. Calculando os conjuntos diferença entre A e B e B e A, veremos em que situação curiosa isso vai dar. Vem comigo!

Quando A é Subconjunto de B

Quanto ao conjunto diferença entre B e A, tudo certo, não é mesmo? Ele é um conjunto unitário. Agora, reparem que por A ser subconjunto de B, quando a diferença entre A e B é calculada, todos os elementos de A são eliminados, não restando nenhum elemento no conjunto. Neste caso, A – B é um conjunto vazio.

Conseguiram entender a ideia? Vejam que em nenhum dos exemplos vistos até agora, os conjuntos A – B e B – A foram iguais. Isso nos mostra que a propriedade comutativa não é válida para a diferença entre dois conjuntos, ou seja:

Propriedades da Diferença entre Conjuntos

Como vimos nos exemplos anteriores, dá para resumir o comportamento da diferença entre conjuntos em quatro propriedades importantes. Vale a pena guardá-las, pois costumam aparecer direto em provas e vestibulares:

Propriedade	O que diz	Onde aparece no texto
Não comutatividade	Em geral, A – B ≠ B – A	Itens a, b e c dos exemplos resolvidos
Conjuntos disjuntos	Se A ∩ B = ∅, então A – B = A e B – A = B	Item b
Subconjunto	Se B ⊂ A, então B – A = ∅ (e A – B é o complementar de B em relação a A)	Item c
Cardinalidade	n(A – B) = n(A) – n(A ∩ B)	Exercício 4 (a seguir)

 

Portanto, antes de sair calculando, vale a pena parar um instante e observar se os conjuntos são disjuntos ou se um está contido no outro. Assim, vocês economizam tempo de prova, já sabendo de antemão o formato do resultado.

Diferença entre Conjuntos e Complementar de um Conjunto

Vocês repararam que, no item c dos exemplos resolvidos, quando B é subconjunto de A, o conjunto A – B ganha um nome especial? Ele é chamado de complementar de B em relação a A. Ou seja, sempre que um conjunto está contido no outro, a diferença entre eles é, na prática, um caso particular do complementar.

Esse é justamente o motivo de existir tanta proximidade entre os dois conceitos: o complementar é obtido através da própria operação de diferença entre conjuntos que acabamos de estudar. Se vocês quiserem se aprofundar no assunto — com as propriedades do complementar, as Leis de De Morgan e exercícios comentados de Enem e vestibulares —, é só acessar o texto completo sobre Complementar de um Conjunto.

Exercícios Propostos

Chegou a hora de colocar em prática o que vimos até aqui. Resolvam os exercícios abaixo e depois confiram as respostas no gabarito comentado.

1) Sejam A = {2, 4, 6, 8, 10} e B = {4, 8, 12}. Determine A – B e B – A.

2) Sejam A = {0, 2, 4, 6, 8, 10} e B = {0, 3, 6, 9}. Determine A – B.

3) Sejam C = {a, e, i, o, u} e D = {a, b, c}. Determine C – D e D – C.

4) Numa turma de 30 alunos, 18 fazem reforço de Matemática (M) e 12 fazem reforço de Português (P). Sabendo que 5 alunos fazem as duas aulas, quantos alunos fazem reforço de Matemática mas não de Português? E quantos fazem reforço de Português mas não de Matemática?

5) Sendo P = {1, 2, 3} e Q = {1, 2, 3, 4, 5}, com P ⊂ Q, determine P – Q e Q – P.

Gabarito comentado

1) Os elementos comuns a A e B são 4 e 8. Logo, A – B = {2, 6, 10} e B – A = {12}.

2) Os elementos comuns a A e B são 0 e 6. Logo, A – B = {2, 4, 8, 10}.

3) O único elemento comum é a. Logo, C – D = {e, i, o, u} e D – C = {b, c}.

4) Usando n(A – B) = n(A) – n(A ∩ B): fazem Matemática mas não Português → 18 – 5 = 13 alunos. Fazem Português mas não Matemática → 12 – 5 = 7 alunos.

5) Como P ⊂ Q, temos P – Q = ∅ e Q – P = {4, 5}. Além disso, P ≠ Q, já que Q tem elementos que P não tem.

Erros Comuns ao Calcular a Diferença entre Conjuntos

Antes de seguirmos para as perguntas frequentes, vale destacar alguns deslizes que costumam aparecer nas provas. Assim, vocês já sabem o que evitar:

1. Inverter a ordem dos conjuntos: calcular B – A quando o exercício pede A – B (ou vice-versa). Como a diferença não é comutativa, o resultado muda completamente.

2. Deixar elementos comuns na resposta: os elementos que pertencem aos dois conjuntos precisam ser retirados do conjunto de partida, e não mantidos por engano.

3. Confundir diferença com interseção: A ∩ B reúne o que é comum aos dois conjuntos; A – B faz exatamente o oposto, elimina o que é comum.

4. Não checar antes se um conjunto é subconjunto do outro: isso evita contas desnecessárias e ajuda a perceber rapidamente quando o resultado será vazio.

5. Estranhar o resultado quando os conjuntos são disjuntos: quando A ∩ B = ∅, é normal e esperado que A – B seja igual ao próprio A.

Perguntas Frequentes

Qual é a diferença entre “diferença de conjuntos” e “conjunto complementar”?

A diferença entre conjuntos (A – B) existe para quaisquer dois conjuntos A e B. Já o complementar é um caso particular dela: só existe quando B é subconjunto de A, e, nesse caso, o complementar de B em relação a A é exatamente o conjunto A – B.

A diferença entre conjuntos é comutativa?

Não. Em geral, A – B é diferente de B – A, como mostram os exemplos resolvidos deste texto.

O que acontece quando A e B são conjuntos disjuntos?

Quando A ∩ B = ∅, não há elementos para descontar. Por isso, A – B é igual ao próprio A, e B – A é igual ao próprio B.

O que acontece quando B é subconjunto de A?

Nesse caso, todos os elementos de B também pertencem a A. Assim, ao calcular A – B, todos os elementos de B são retirados de A, e o resultado é o complementar de B em relação a A. Já B – A é sempre o conjunto vazio.

Como a diferença entre conjuntos costuma cair no Enem e nos vestibulares?

Geralmente aparece embutida em problemas de contagem, quando a questão pede quantos elementos pertencem a um grupo mas não a outro. Nesses casos, vale a pena usar a fórmula n(A – B) = n(A) – n(A ∩ B), como no exercício 4 proposto acima.

Bom, depois de tudo o que acabamos de discutir, não há dúvidas de que esse texto está chegando ao fim! Agradeço imensamente a atenção de vocês, e espero que o que vimos aqui, somado ao que vocês verão agora no vídeo que está em anexo, seja muito proveitoso para os seus estudos!

A teoria dos conjuntos é base para toda a matemática do ensino médio. Portanto, vocês já podem se considerar mais próximos daquela nota ótima desejada no ENEM e nos vestibulares!

Finalizando

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Um abraço! Bons estudos em matemática!