INTRODUÇÃO À FUNÇÃO EXPONENCIAL

13/07/2018

Olá pessoal, tudo certo?

Uma função é considerada exponencial quando sua incógnita encontra-se no expoente. Mas não pensem que acaba por aí: para que uma função exponencial exista, o valor numérico que compõe a sua base deve obedecer alguns critérios bem interessantes, que nós estudaremos neste texto! A função exponencial pode ser aplicada em muitos contextos do nosso cotidiano, e por isso, costuma estar sempre presente nas provas de matemática do ENEM e dos mais diversos vestibulares.

Quando a incógnita se localiza no expoente, as coisas parecem ficar muito mais difíceis, não é mesmo? Mas se nós tivermos à disposição um material de qualidade, e nos dedicarmos bastante, essa e qualquer outra questão matemática podem se tornar algo extremamente simples! A dedicação, não tem jeito, ela precisa vir de vocês, mas quanto a um ótimo material de estudos, eu garanto, vocês encontram na plataforma do Professor Ferretto! O curso do Ferretto disponibiliza videoaulas que abordam toda a matemática do ensino médio, da mais simples até a mais complexa, e centenas de exercícios do ENEM e de vestibulares para vocês resolverem e conferirem a resolução em vídeo depois. E não são só essas as vantagens não! Tem até aulas de física na íntegra! Deem uma olhada no site para conferir todos os benefícios!

Agora, é hora de entendermos direitinho como a função exponencial é definida, e quais são as suas condições de existência. Depois que estiver tudo bem claro, resolveremos também alguns exercícios sobre o assunto. Então, pegue o seu caderno, uma caneta e vem comigo aqui!

1. DEFINIÇÃO E CONDIÇÃO DE EXISTÊNCIA DE UMA FUNÇÃO EXPONENCIAL

Seja um número real a (a > 0 e a ≠ 1), denomina-se função exponencial de base a, a função definida por f(x)=a^x.

Como pode ser visto na definição acima, uma função exponencial é dada sempre na forma f(x)=a ^x, em que a é a base da função e x é a incógnita, que deve, necessariamente, se encontrar no expoente. É importante lembrar aqui, que uma função pode ser representada tanto por f(x) quanto por y, de forma que a expressão y=a ^x também é válida como uma função exponencial.

Já a expressão , tem por objetivo apresentar o domínio ou conjunto de partida, e o contradomínio ou conjunto de chegada da função exponencial. Podemos perceber então, que o domínio de uma função exponencial é formado por todos os números reais, mas que o seu contradomínio abrange apenas os números reais positivos e não nulos. Ao longo do texto, ficará mais claro porque isso acontece.

Não confundam o contradomínio com a imagem de uma função! O contradomínio de uma função exponencial é formado por todos os elementos possíveis de serem obtidos quando valores do domínio são aplicados a função. Já a imagem de uma função exponencial é formada exclusivamente pelos elementos obtidos quando valores do domínio são aplicados a função. Lembrem que o conjunto imagem de qualquer função é sempre um subconjunto do contradomínio desta função.

Tudo tranquilo até aqui? Agora, vamos prestar um pouco mais de atenção no valor numérico da base de uma função exponencial. Se vocês olharem novamente a definição, está sendo dito que a deve ser sempre um valor maior que zero e diferente de 1 (a > 0 e a ≠ 1). Podemos expressar essa ideia através de uma reta real, como mostra a imagem abaixo:

Assim, nós podemos concluir que a base a jamais será um número negativo, ou um valor igual a zero e a 1, já que temos uma bolinha aberta para esses dois elementos. Portanto, fiquem atentos! Uma função só poderá ser caracterizada como exponencial, caso o valor de sua base a estiver entre 0 e 1 (0 < a < 1) ou for maior do que 1 (a > 1). Do contrário, não poderá ser garantida a existência da função exponencial.

Mas vocês saberiam dizer por que o valor da base a de uma função exponencial não pode ser zero e nem um? Observem os cálculos abaixo com atenção:

Podemos elevar o número 0 ou o número 1 a qualquer valor: o resultado será sempre definido, ou o mesmo. Mas a ideia, em uma função exponencial, é obter como imagem uma série de valores que crescem ou decrescem infinitamente de forma exponencial, e não apenas valores constantes. Ou seja, a forma como a função exponencial é definida, e o seu objetivo final, não são compatíveis com o comportamento das potências de base 0 e 1. Por isso, a existência da função se restringe aos possíveis valores de a que nós vimos anteriormente.

Agora que sabemos que o valor da base de uma função exponencial não pode ser negativo, e nem 0 ou 1, fica um pouco mais claro porque o contradomínio desta função não abrange números negativos e nulos. Se a base não pode ser zero, jamais chegaremos a um resultado igual a zero. Além disso, quando um número positivo é elevado a outro número positivo, ou até mesmo a um número negativo, o resultado acaba sendo sempre positivo! Lembrem, que quando o expoente de uma certa base a é negativo, ele não torna o resultado negativo, apenas faz com que a sua base a seja invertida. Tudo isso é fruto de uma propriedade da potenciação, que é apresentada logo abaixo:

Entendido? Neste momento, vamos observar algumas funções a fim de verificar se as mesmas são caracterizadas como exponenciais. Para fazer essa verificação, basta comprovarmos que a incógnita x se encontra no expoente da função, e que o valor da base a se enquadra nas restrições que acabamos de discutir. Vem comigo aqui!