O que são números naturais e inteiros? Aprenda com exemplos

O conjunto dos números naturais (ℕ) é formado pelo zero e por todos os inteiros positivos. Já o conjunto dos números inteiros (ℤ) reúne todos os naturais e também os negativos, por isso, todo número natural é um número inteiro (ℕ ⊂ ℤ).

Observe que os números naturais e inteiros estão presentes em cada detalhe da nossa rotina.

Eles aparecem quando contamos objetos, medimos temperaturas abaixo de zero ou ajustamos o saldo de uma conta financeira.

Por trás dessas simples ações, estão dois dos conjuntos mais fundamentais da Matemática, os números naturais e inteiros.

Entender a fronteira entre eles vai muito além de garantir uma boa nota no Enem ou nos vestibulares, pois essa distinção é a verdadeira chave que destranca o estudo da álgebra, das equações e de todo o edifício matemático.

Veja, por exemplo, esta simples equação: x + 5 = 3 e imagine que só conhecêssemos os números naturais, ela ficaria sem solução.

A solução só existe porque ampliamos nosso horizonte numérico, e é exatamente isso que vamos explorar.

Aqui você verá:

• O que são os números naturais (ℕ) e quais são os seus subconjuntos;
• O que são os números inteiros (ℤ) e como eles expandem os naturais;
• As diferenças práticas entre esses dois conjuntos;
• Por que dizemos que ℕ ⊂ ℤ (e o que essa continência significa na prática);
• Quais operações funcionam perfeitamente em cada conjunto — e quais deixam a desejar;
• As propriedades fundamentais que regem as contas (comutativa, associativa, distributiva e elemento neutro);
• E, claro, o que não poderia faltar, exercícios para fixar.

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CONJUNTO DOS NÚMEROS NATURAIS (ℕ)

Observe que é espontâneo, natural, que a gente conte quantas frutas ainda temos em casa, ou quantos edifícios estão localizados em uma determinada rua.

Enfim estamos acostumados a falar em quantidade.

Foi assim, pois, que os números naturais surgiram, isto é, quando houve a necessidade de expressar quantidade!

A verdade é que podemos ter em uma determinada rua, um, dois, três, quatro ou cinco ou quantos edifícios couberem lá.

Ao mesmo tempo, uma certa rua pode conter apenas algumas casas e, portanto, nenhum edifício.

Agora, vocês já ouviram falar em meio edifício? ¼ de edifício? Não, né?

Por esse motivo, o conjunto dos números naturais é formado pelo número zero e também por todos os números inteiros positivos, tudo para expressar quantidade ou nenhuma quantidade de algo.

Numericamente, temos que:

Note que nós já estudamos, no texto Introdução aos Conjuntos, que as reticências, conforme consta tarja acima, dão ideia de infinidade ou continuidade aos conjuntos.

Isso quer dizer, por conseguinte, que os elementos do conjunto dos números naturais iniciam em zero e, de uma em uma unidade, se direcionam ao mais infinito!

Subconjunto notável dos números naturais

Como o próprio nome diz, um subconjunto é uma parte, uma fração de determinado conjunto.

Observe que o zero é um elemento especial, uma vez que ele não é positivo nem negativo. Assim sendo, é neutro.

Por isso, dependendo do contexto, pode ser útil excluí-lo do conjunto.

É justamente aí que surgem os subconjuntos notáveis dos números naturais:

Notação	Significado	Elementos
ℕ	Números naturais (com o zero)	{0, 1, 2, 3, 4, …}
ℕ*	Números naturais não nulos (sem o zero)	{1, 2, 3, 4, 5, …}
ℕ₀	Números naturais com o zero (mesmo que ℕ)	{0, 1, 2, 3, 4, …}

⚠️ Atenção! Alguns livros e materiais não incluem o zero no conjunto dos números naturais, considerando ℕ = {1, 2, 3, …}. Já outros (como a maioria dos vestibulares e o Enem) incluem o zero.

Por isso, é fundamental verificar a convenção adotada em cada contexto! Quando o zero é incluído, muitas vezes usa-se a notação ℕ₀ para deixar isso explícito. Já quando o zero está excluído, usa-se ℕ*.

Como representar os números naturais na reta numérica

Na reta numérica, os números naturais são representados como pontos igualmente espaçados, começando pelo zero (ou pelo 1, dependendo da convenção) e seguindo para a direita, em ordem crescente:

0 – 1 – 3 – 4 – 5 – 6 – 7 – 8 – 9 – 10 ->

A partir dessa reta, podemos definir dois conceitos importantes:

• Sucessor de um número natural: é o número que vem imediatamente depois dele. O sucessor de 5 é 6; o sucessor de 0 é 1.
• Antecessor de um número natural: é o número que vem imediatamente antes dele. O antecessor de 5 é 4. O zero não tem antecessor no conjunto dos números naturais, pois não há número natural menor do que ele.

A comparação entre dois números naturais é direta: na reta, o número mais à direita é o maior. Assim, 7 > 3 e 2 < 9, simples assim.

CONJUNTO DOS NÚMEROS INTEIROS (ℤ)

No item anterior, nós averiguamos que não é comum nos referirmos a meio edifício, ou a qualquer outra fração de edifício.

Por isso, a princípio, os números naturais seriam suficientes para representar toda e qualquer grandeza existente.

Contudo, eis que surgiu um dilema!

10 – 5 = 5

8 – 2 = 6

3 x 4 = 12

4 – 13 = – 9

1 – 3 = – 2

Quando adições ou multiplicações entre números naturais são realizadas, verifica-se que o resultado é um número natural também.

Mas como mostram os exemplos acima, quando são realizadas subtrações, duas situações são recorrentes. Uma delas, acaba comprometendo a existência somente dos números naturais.

Ao subtrairmos de um número um valor maior do que ele, encontramos sempre um resultado negativo.

Mas, como se pode notar, não havia como representar tal evento através dos números naturais.

Por esse motivo, é que se deu a criação do conjunto dos números inteiros.

A imagem abaixo não deixa dúvidas de que esse novo conjunto é composto por elementos inteiros que vem de menos infinito, e que de uma em uma unidade, se direcionam ao mais infinito.

Interessante, não é mesmo? Perceba que do elemento zero (0) em diante, ou seja, rumo ao mais infinito, todos os elementos que pertencem ao conjunto dos números inteiros, também pertencem ao conjunto dos números naturais!

Assim, podemos dizer que o conjunto dos números naturais “é parte” do conjunto dos números inteiros, ou que ele é um subconjunto dos números inteiros.

Também é possível descrever o caso, dizendo que o conjunto dos números naturais está contido no conjunto dos números inteiros (⊂).

 

Simétrico, oposto e valor absoluto

Com a introdução dos números negativos, surge o conceito de simetria em relação ao zero (também chamado de oposto).

Assim, dois números são simétricos (ou opostos) quando estão à mesma distância do zero na reta numérica, mas em lados opostos.

Exemplos:

• O oposto de 5 é −5.
• O oposto de −12 é 12.
• O oposto de 0 é o próprio 0.

O valor absoluto (ou módulo) de um número é a distância desse número até o zero na reta numérica, independentemente do sinal.

É representado por duas barras verticais: |x|.

Exemplos:

• |5| = 5
• |−5| = 5 (a distância de −5 até 0 é 5 unidades)
• |0| = 0
• |−23| = 23

O módulo é uma ferramenta poderosa. Isso porque ele “transforma” qualquer número em sua versão positiva, preservando apenas sua magnitude.

Subconjuntos notáveis dos números inteiros

Assim como os números naturais, os inteiros também possuem subconjuntos importantes.

A tabela abaixo resume cada um deles:

Números inteiros não nulos

Como visto acima, quando o símbolo de um conjunto numérico é apresentado com o asterisco (*), significa que o elemento zero não pertence ao subconjunto formado.

Assim, como o próprio nome sugere, o subconjunto dos números inteiros não nulos é formado por todos os números inteiros, desde menos infinito a mais infinito, excluído o zero.

Números inteiros não negativos

Se algo é não negativo, significa que é positivo, correto?

Então por que não chamar logo de subconjunto dos números inteiros positivos? A resposta é simples, e está no próprio símbolo deste subconjunto.

Repare que não há a presença do asterisco no símbolo, o que significa que o zero pertence ao subconjunto! E o zero, lembre, não é positivo e nem negativo!

Assim, esse subconjunto deve ser mesmo chamado de subconjunto dos números inteiros não negativos. Isso porque é formado por todos os números inteiros positivos rumo ao mais infinito, e também pelo elemento zero.

Que coisa estranha, esse subconjunto parece tão familiar, não? Não só parece como é!

Se você reparar na figura acima com mais atenção, verá que o subconjunto dos números inteiros não negativos possui os mesmos elementos que o conjunto dos números naturais.

Assim, podemos afirmar que:

 

Números inteiros positivos

Agora sim, trata-se de fato do subconjunto dos números inteiros positivos!

Por isso, ele é formado somente por números inteiros positivos, rumo ao mais infinito, fato que exclui o elemento zero, que como sabemos, é um elemento neutro.

Isso fica ainda mais evidente no símbolo do conjunto, que contém um asterisco!

E novamente, de se notar, os elementos desse subconjunto também pertencem ao subconjunto dos números naturais não nulos.

Assim, resta-nos afirmar que:

 

Números inteiros não positivos

Neste caso, a mesma lógica utilizada para nomear o subconjunto dos números inteiros não negativos está valendo.

Se são elementos não positivos, significa que vamos excluir todos os números inteiros positivos, mas que incluiremos o zero. Isso porque o zero também não é positivo.

É por isso que no símbolo do subconjunto dos números inteiros não positivos não há a presença do asterisco, e seus elementos começam em menos infinito e terminam em zero.

 

Números inteiros negativos

O subconjunto dos números inteiros negativos, como o próprio nome sugere, é formado apenas por elementos inteiros negativos, desde menos infinito até o elemento -1.

Nesse caso, portanto, os números inteiros positivos e o elemento zero, que também não é negativo, não pertencem ao subconjunto.

Por consequência, isso motiva novamente o aparecimento do asterisco em seu símbolo.

Entendido?! Note que não há nenhum neste assunto.

Contudo, como há vários detalhes importantes a serem levados em conta, vamos aproveitar para analisar algumas sentenças e consolidar o conhecimento. Vem conosco!

Subconjunto	Símbolo	Elementos	Observação
Inteiros não nulos	ℤ*	{…, −3, −2, −1, 1, 2, 3, …}	Todos os inteiros, exceto o zero
Inteiros não negativos	ℤ₊ (ou ℤ⁺)	{0, 1, 2, 3, 4, …}	Inclui o zero; coincide com ℕ
Inteiros positivos	ℤ*₊ (ou ℤ*⁺)	{1, 2, 3, 4, 5, …}	Exclui o zero; coincide com ℕ*
Inteiros não positivos	ℤ₋ (ou ℤ⁻)	{…, −3, −2, −1, 0}	Inclui o zero
Inteiros negativos	ℤ*₋ (ou ℤ*⁻)	{…, −3, −2, −1}	Exclui o zero

📌 Regra prática: o asterisco (*) indica que o zero foi excluído. O sinal de + ou − indica que apenas números positivos ou negativos foram selecionados. Quando não há asterisco, o zero está incluído.

Qual é a diferença entre números naturais e inteiros?

Agora que já conhecemos os dois conjuntos, podemos responder diretamente: qual é a diferença entre números naturais e inteiros?

A diferença fundamental está nos números negativos:

Critério	Números Naturais (ℕ)	Números Inteiros (ℤ)
Elementos	{0, 1, 2, 3, 4, …}	{…, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, …}
Possui números negativos?	❌ Não	✅ Sim
Possui o zero?	✅ Sim (na convenção mais comum)	✅ Sim
É infinito?	✅ Sim (apenas para a direita)	✅ Sim (para ambos os lados)
Representa dívidas/temperaturas negativas?	❌ Não	✅ Sim

Em resumo: todo número natural é um número inteiro, mas nem todo número inteiro é natural.

Os números negativos, por conseguinte, são a grande novidade trazida pelos inteiros.

O que significa ℕ ⊂ ℤ?

O símbolo ⊂ significa “está contido” ou “é subconjunto de“.

Assim, dizer que ℕ ⊂ ℤ significa que todos os elementos do conjunto dos números naturais também pertencem ao conjunto dos números inteiros.

Visualizando com um diagrama:

Na prática, isso significa que:

• 0 ∈ ℤ e 0 ∈ ℕ (o zero pertence a ambos);
• 5 ∈ ℤ e 5 ∈ ℕ;
• −3 ∈ ℤ mas −3 ∉ ℕ (não pertence aos naturais).

Por isso, dizemos que o conjunto dos números naturais é um subconjunto do conjunto dos números inteiros.

Essa relação de inclusão, por consequência, é a base para entender a hierarquia dos conjuntos numéricos.

Quais operações são fechadas em cada conjunto?

Uma operação é dita fechada em um conjunto de números naturais ou números inteiros quando o resultado da operação entre dois elementos desse conjunto também pertence ao conjunto.

Vamos analisar cada caso:

Os números naturais são fechados para a adição?

Sim. Dado que a soma de dois números naturais é sempre um número natural.
Exemplo: 3 + 7 = 10 (10 ∈ ℕ).

Os números naturais são fechados para a multiplicação?

Sim. O produto de dois números naturais é sempre um número natural.
Exemplo: 4 × 6 = 24 (24 ∈ ℕ).

Os números naturais são fechados para a subtração?

Não. A subtração de dois números naturais pode resultar em um número negativo, que não pertence aos números naturais (ℕ).
Exemplo: 3 −7 = −4 (−4 ∉ ℕ).

Os números naturais são fechados para a divisão?

Não. Uma vez que a divisão de dois números naturais pode resultar em uma fração (número não inteiro), que não pertence aos números naturais (ℕ).
Exemplo: 7 ÷ 2 = 3,5 (3,5 ∉ ℕ).

Os números inteiros são fechados para a adição?

Sim. A soma de dois números inteiros é sempre um número inteiro.
Exemplo: −5 + 8 = 3 (3 ∈ ℤ).

Os números inteiros são fechados para a subtração?

Sim. Visto que a diferença entre dois números inteiros é sempre um número inteiro.
Exemplo: −3 −5 = −8 (−8 ∈ ℤ).

Os números inteiros são fechados para a multiplicação?

Sim. O produto de dois números inteiros é sempre um número inteiro (ℤ).
Exemplo: −4 × 6 = −24 (−24 ∈ ℤ).

Os números inteiros são fechados para a divisão?

Não. A divisão de dois inteiros pode resultar em uma fração (número não inteiro).
Exemplo: 3 ÷ 2 = 1,5 (1,5 ∉ ℤ).

Tabela resumo:

Operação	Fechada em ℕ?	Fechada em ℤ?
Adição	✅ Sim	✅ Sim
Subtração	❌ Não	✅ Sim
Multiplicação	✅ Sim	✅ Sim
Divisão	❌ Não	❌ Não

Perceba que a grande vantagem dos números inteiros sobre os naturais é que eles fecham a subtração, algo que os naturais não conseguiam fazer.

Note, no entanto, que a divisão continua sendo um problema para ambos, o que motivará a criação dos números racionais (frações) em um próximo passo dos seus estudos.

Propriedades das operações

As operações de adição e multiplicação (tanto em ℕ quanto em ℤ) obedecem a propriedades fundamentais.

Assim, conhecê-las é essencial para manipular expressões e resolver equações com segurança.

1. Propriedade Comutativa

A ordem dos fatores não altera o resultado.

• Adição: a + b = b + a
  Exemplo: 5 + 3 = 3 + 5 = 8
• Multiplicação: a × b = b × a
  Exemplo: 4 × 7 = 7 × 4 = 28

⚠️ Atenção! A subtração e a divisão não são comutativas! 5 − 3 ≠ 3 − 5 e 10 ÷ 2 ≠ 2 ÷ 10.

2. Propriedade Associativa

O agrupamento dos termos não altera o resultado.

• Adição: (a + b) + c = a + (b + c)
  Exemplo: (2 + 3) + 4 = 2 + (3 + 4) = 9
• Multiplicação: (a × b) × c = a × (b × c)
  Exemplo: (2 × 3) × 4 = 2 × (3 × 4) = 24

3. Propriedade Distributiva

A multiplicação se “distribui” sobre a adição (ou subtração).

• Distributiva da multiplicação sobre a adição: a × (b + c) = (a × b) + (a × c)
  Exemplo: 3 × (4 + 5) = 3 × 4 + 3 × 5 = 12 + 15 = 27
• Distributiva da multiplicação sobre a subtração: a × (b − c) = (a × b) − (a × c)
  Exemplo: 3 × (5 − 2) = 3 × 5 − 3 × 2 = 15 − 6 = 9

4. Elemento Neutro

É o número que, quando operado com qualquer outro, não o altera.

• Na adição: o elemento neutro é o 0 (zero).
  Exemplo: 7 + 0 = 7
• Na multiplicação: o elemento neutro é o 1 (um).
  Exemplo: 7 × 1 = 7

Abaixo, mapa mental para fixar as propriedades das operações com números naturais e números inteiros.

V ou F?

Vamos praticar! Analise cada afirmação abaixo e determine se é Verdadeira (V) ou Falsa (F).

As respostas estão logo após cada item.

1. O número −8 pertence ao conjunto dos números naturais.
Resposta: Falsa (F). Os números naturais são compostos apenas por números não negativos (0, 1, 2, 3, …). O número −8 é negativo, portanto, pertence apenas aos inteiros.

2. Todo número natural é também um número inteiro.
Resposta: Verdadeira (V). O conjunto dos números naturais está contido no conjunto dos números inteiros (ℕ ⊂ ℤ).

3. O resultado de 3 − 5 é um número natural.
Resposta: Falsa (F). 3 − 5 = −2, e −2 não pertence ao conjunto dos números naturais.

4. O conjunto dos números inteiros é fechado para a operação de subtração.
Resposta: Verdadeira (V). A subtração de dois números inteiros sempre resulta em um número inteiro.

5. O módulo de −7 é igual a 7.
Resposta: Verdadeira (V). O valor absoluto (módulo) representa a distância até o zero: |−7| = 7.

6. O zero pertence ao subconjunto dos inteiros não nulos (ℤ*).
Resposta: Falsa (F). O asterisco (*) indica que o zero foi excluído.

7. A multiplicação é uma operação comutativa no conjunto dos números inteiros.
Resposta: Verdadeira (V). Para quaisquer inteiros a e b, a × b = b × a.

Conjuntos numéricos com números naturais e inteiros costumam marcar presença no Enem

Um estudo acadêmico (IFMG, 2025), direto dos microdados do Inep, sem vínculo comercial, analisou os 670 itens válidos de Matemática entre 2009 e 2023 (todas as 15 edições) e comparou as 7 competências da área.

A competência 1 (números naturais, inteiros, racionais e reais), questões de conjuntos numéricos, portanto, costumam ser um dos pontos mais ‘garantidos’ da prova.

Como é considerada de dificuldade mais baixa, vale muito a pena revisar, pois não demanda tanto tempo e assim você fica por dentro dessa disciplina.

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Ufa! Chegamos ao final de mais um conteúdo.

Lembre-se, no entanto, que dominar os números naturais e inteiros é apenas o primeiro degrau de uma longa escada.

A Matemática do Enem e dos vestibulares, por conseguinte, exige que você domine também equações, funções, geometria, probabilidade e muito mais.

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