Uma progressão geométrica (PG) é uma sequência numérica em que cada termo, a partir do segundo, é o produto do termo anterior por uma constante q, chamada razão. De acordo com o valor de q e do primeiro termo (a1), a PG pode ser classificada em crescente, decrescente, constante ou alternada. Neste guia completo, você encontra a definição, a fórmula da razão, o termo geral, a soma dos termos, exemplos resolvidos e exercícios com gabarito.

 

Olá, pessoal! Tudo bem por aí?

A progressão geométrica, ou simplesmente PG, é uma das sequências numéricas mais cobradas nas provas do ENEM e dos vestibulares. Diferente da progressão aritmética (PA), que cresce ou decresce por meio de uma soma constante, a PG se caracteriza pelo produto de seus termos por um valor fixo. Por conseguinte, os termos de uma PG tendem a crescer ou decrescer muito mais rápido do que os de uma PA — um comportamento com inúmeras aplicações no dia a dia, da matemática financeira à biologia.

Assim, neste guia completo, reunimos tudo o que você precisa saber sobre a progressão geométrica: definição, classificação, fórmulas, exemplos resolvidos e exercícios propostos. Então, vem comigo desvendar os segredos da PG!

O que é uma Progressão Geométrica (PG)?

Uma PG é uma sequência em que cada termo, a partir do segundo, é o produto do termo anterior por uma constante q, chamada razão da progressão. Observe a sequência numérica abaixo:

(3, 6, 12, 24, 48, …)

Repare que cada termo da sequência possui uma posição definida: o número 3 é o primeiro termo (a1), 6 é o segundo (a2), 12 é o terceiro (a3), e assim por diante.

Dessa forma, 6 é o produto de 3 por 2. 12 é o produto de 6 por 2. 24 é o produto de 12 por 2, e assim sucessivamente. Portanto, a sequência (3, 6, 12, 24, 48, …) é uma progressão geométrica de razão q igual a 2.

Exemplo resolvido: encontrando os próximos termos de uma PG

Encontre os próximos termos de uma PG de razão 3, cujo primeiro termo vale 2.

Segundo a definição, uma progressão geométrica é formada quando cada um de seus termos é o produto do termo antecessor pela razão q. Dessa forma, basta multiplicar o primeiro termo da PG dada por 3, e seguir multiplicando cada um dos termos seguintes pela mesma razão q.

Vale destacar que, nesse exemplo, os termos são números cada vez maiores, tendendo ao infinito. Contudo, também existem sequências em que os termos são cada vez menores, se aproximando de zero ou de menos infinito. Da mesma forma, não se assustem se encontrarem sequências em que os termos não se alteram, ou mudam de sinal constantemente — todos esses casos podem formar uma progressão geométrica, como veremos logo mais na classificação.

PA x PG: Qual é a Diferença?

Antes de seguirmos, vale a pena reforçar a diferença entre a PG e a progressão aritmética (PA), estudada no texto Definição e Classificação de uma Progressão Aritmética. Observe novamente a sequência (3, 6, 12, 24, 48, …):

Em uma PA, a diferença entre quaisquer dois termos consecutivos deve ser sempre constante. Vamos aplicar essa ideia à sequência acima:

a2 − a1 = 6 − 3 = 3

a3 − a2 = 12 − 6 = 6

a4 − a3 = 24 − 12 = 12

a5 − a4 = 48 − 24 = 24

Como os resultados obtidos são sempre diferentes, essa sequência não é uma PA. Mas, e se, em vez de subtrair, dividíssemos cada termo pelo seu antecessor?

Note que, dessa forma, o resultado é sempre um termo constante, de valor 2. É justamente esse comportamento — o quociente constante entre termos consecutivos — que caracteriza a progressão geométrica, ao contrário da PA, que se define pela diferença constante (a soma de uma razão r).

Qual é a Fórmula da Razão (q) de uma PG?

Quando comparamos a PG com a PA, vimos que dividir dois termos consecutivos da sequência resultou sempre na mesma constante. Isso nos permite enxergar a PG sob um segundo ponto de vista: sempre que o quociente entre dois termos consecutivos de uma sequência resultar em um valor constante, significa que se trata de uma progressão geométrica!

Assim, partindo de uma fórmula geral, é possível determinar uma série de fórmulas que permitem encontrar a razão da PG — tudo depende de quais termos da sequência têm valores conhecidos.

Termo Geral de uma PG

Além da razão, outra fórmula fundamental da progressão geométrica é a do termo geral, que permite encontrar qualquer termo da sequência (an) a partir do primeiro termo (a1) e da razão (q):

an = a1 · qⁿ⁻¹

Também existe uma versão estendida dessa fórmula, muito útil quando não conhecemos o valor de a1, mas sim de um termo genérico ak:

an = ak · q^n−k

Por exemplo, para determinar o 8º termo de uma PG em que a4 = 12 e q = 2, basta usar a diferença entre os índices (8 − 4 = 4) como expoente da razão: a8 = a4 · q4 = 12 · 24 = 12 · 16 = 192.

Essa é uma das fórmulas mais cobradas do assunto nas provas do ENEM e dos vestibulares. Por isso, dedicamos um texto inteiro a ela — com a demonstração passo a passo e as duas propriedades mais importantes da PG (incluindo a relação com a média geométrica). Confira em Termo Geral da PG: Conheça a Fórmula e suas Propriedades!.

Classificação da Progressão Geométrica: os 4 Tipos

As progressões geométricas podem ser classificadas em quatro categorias: crescente, decrescente, constante e alternada. Tudo depende do valor do primeiro termo (a1) e da razão (q) de cada sequência. A seguir, veremos cada uma dessas classificações com a ajuda de alguns exemplos.

Dica Se decorar as regrinhas de sinal parecer complicado, fique de olho no comportamento da sequência. Se os termos estão aumentando ao longo dela, trata-se de uma PG crescente; se estão diminuindo, é uma PG decrescente. Essa regra prática vale tanto para a PA quanto para a PG.

PG Crescente

Existem duas formas de construir uma progressão geométrica crescente. Caso o primeiro termo (a1) seja positivo, a razão q deve necessariamente ser maior do que 1. Já se a1 for negativo, a razão q deve ser um valor entre 0 e 1.

Observe duas sequências classificadas como PG crescentes:

Na PG destacada em azul, o primeiro termo é negativo (a1 < 0). Contudo, como a razão q está entre 0 e 1 — mais precisamente, a dízima periódica 0,3333… —, os termos da sequência vão crescendo, ficando cada vez menos negativos.

Já na PG destacada em vermelho, o primeiro termo é positivo (a1 > 0). Assim, sendo a razão q maior do que 1, os termos tendem a crescer cada vez mais, rumo ao mais infinito.

PG Decrescente

Da mesma forma, existem duas formas de construir uma progressão geométrica decrescente. Se o primeiro termo (a1) for positivo, a razão q deve ser um valor entre 0 e 1. Caso contrário — ou seja, se a1 for negativo —, a razão q deve ser maior do que 1.

Para entender essa ideia direitinho, observe as sequências a seguir:

Quando multiplicamos um número negativo por um valor maior que 1, o resultado é ainda mais negativo; por isso, na sequência destacada em azul, os termos decrescem, tendendo ao menos infinito. Já quando multiplicamos um número positivo por um valor entre 0 e 1, o resultado tende a se aproximar de zero — o que também caracteriza um comportamento decrescente.

PG Constante

Uma progressão geométrica é constante quando sua razão q é igual a 1. Dessa forma, todos os termos da sequência são sempre iguais — basta lembrar do elemento neutro da multiplicação: o produto de qualquer número por 1 resulta nele mesmo!

PG Alternada (Oscilante)

Uma progressão geométrica alternada, também chamada de oscilante, é aquela cuja razão q é negativa (q < 0). Nesse caso, os termos da sequência acabam oscilando entre valores positivos e negativos, como mostra o exemplo abaixo:

Para fixar as quatro classificações, veja o resumo comparativo a seguir:

Tipo	Condição de a1	Condição de q	Comportamento dos termos
Crescente	a1 > 0	q > 1	Aumentam, tendendo a +∞
Crescente	a1 < 0	0 < q < 1	Aumentam (ficam menos negativos)
Decrescente	a1 > 0	0 < q < 1	Diminuem, aproximando-se de 0
Decrescente	a1 < 0	q > 1	Diminuem, tendendo a −∞
Constante	qualquer	q = 1	Não se alteram
Alternada (oscilante)	qualquer (≠ 0)	q < 0	Alternam entre sinal positivo e negativo

Soma dos Termos de uma PG

Depois de saber classificar uma PG, é natural que surja a próxima dúvida: como somar os termos dessa progressão sem precisar somar um a um? Para uma PG finita, a soma dos n primeiros termos é dada por:

Sn = a1 · (qn − 1) / (q − 1), para q ≠ 1

Quando a razão q está entre −1 e 1 (ou seja, −1 < q < 1) e a PG é infinita, os termos vão se aproximando cada vez mais de zero, e a soma converge para um valor finito:

S∞ = a1 / (1 − q)

Esse resultado é um dos mais elegantes da matemática do ensino médio: a soma de infinitos termos resultando em um número finito! Ele aparece, inclusive, por trás da demonstração da fração geratriz das dízimas periódicas.

Para dominar a fórmula da soma finita com exemplos passo a passo — incluindo aplicações envolvendo aumentos percentuais e produção industrial —, confira o texto completo: Soma dos Termos de uma PG Finita.

Interpolação de Meios Geométricos

Outro conceito que costuma aparecer junto à progressão geométrica é a interpolação de meios geométricos: o processo de inserir uma série de termos entre dois números dados, de forma que a sequência resultante forme uma PG. Por exemplo, ao interpolar 3 meios geométricos entre 1 e 81, obtemos a PG (1, 3, 9, 27, 81).

Essa técnica utiliza justamente a fórmula do termo geral da PG para encontrar a razão q que liga os dois termos conhecidos. Veja o passo a passo completo em Interpolação de Meios Geométricos.

Notações Especiais de uma PG

Quando uma PG possui apenas 3 ou 4 termos, existe uma forma de representá-la reduzindo o número de incógnitas de 3 (ou 4) para apenas 2: um dos termos e a razão q. Essa estratégia é chamada de notação especial e costuma facilitar bastante a resolução de exercícios que envolvem o produto ou a soma dos termos de uma PG. Por exemplo:

• PG de 3 termos: (x/q, x, x·q)
• PG de 4 termos: (x/q³, x/q, x·q, x·q³)

Aprenda quando e como aplicar cada uma dessas notações em Notações Especiais de uma Progressão Geométrica (PG).

Onde a Progressão Geométrica Aparece no Dia a Dia?

A progressão geométrica está longe de ser um conceito só de sala de aula. Por se tratar de um crescimento (ou decrescimento) multiplicativo, ela modela diversos fenômenos do cotidiano e de outras disciplinas, tais como:

• Juros compostos: o valor de um investimento ou de uma dívida cresce em PG, já que os juros de cada período incidem sobre o montante anterior — e não apenas sobre o valor inicial, como na PA.
• Crescimento populacional e reprodução celular: quando uma população (de bactérias, por exemplo) dobra ou triplica a cada intervalo de tempo, seu tamanho segue uma PG crescente.
• Meia-vida e decaimento radioativo: a quantidade de uma substância radioativa se reduz pela metade a cada período fixo, formando uma PG decrescente.

Vamos a um exemplo prático: imagine uma colônia de bactérias que começa com 40 indivíduos e dobra de tamanho a cada hora. Como o número de bactérias é sempre multiplicado por 2 (a razão q), essa sequência é uma PG crescente. Usando o termo geral da PG, com a1 = 40 e q = 2, podemos calcular quantas bactérias existirão depois de 6 horas:

a7 = a1 · q6 = 40 · 26 = 40 · 64 = 2.560 bactérias

Ou seja, em apenas 6 horas, a colônia passa de 40 para 2.560 bactérias — um crescimento e tanto para quem começa duvidando do poder de uma PG!

Exercícios Propostos sobre Progressão Geométrica (com Gabarito)

Agora que você já domina a teoria, é hora de praticar! Resolva os exercícios a seguir e confira suas respostas no gabarito.

1. Classifique a progressão geométrica (5, −10, 20, −40, …) quanto ao tipo, e determine sua razão q.
2. A sequência (100, 20, 4, 0,8, …) é uma progressão geométrica? Se sim, determine sua razão e classifique-a.
3. Em uma PG, sabe-se que a1 = 3 e a4 = 24. Determine a razão q dessa progressão e classifique-a.

Gabarito

1. q = −10 / 5 = −2. Como q < 0, a PG é alternada (oscilante).
2. Sim. q = 20 / 100 = 0,2 (ou 1/5). Como a1 = 100 > 0 e 0 < q < 1, a PG é decrescente.
3. Usando a4 = a1 · q3: 24 = 3 · q3 → q3 = 8 → q = 2. Como a1 = 3 > 0 e q > 1, a PG é crescente.

Videoaula sobre Progressão Geométrica

Para reforçar tudo o que vimos neste texto, o Professor Ferretto preparou uma videoaula completa sobre progressão geométrica, com mais alguns exemplos resolvidos:

Assista à videoaula sobre progressão geométrica no YouTube

Além do YouTube, você também encontra dicas rápidas e resumos visuais sobre progressão geométrica no Instagram do Professor Ferretto (@professorferretto) — vale a pena seguir para não perder nenhuma novidade!

Perguntas Frequentes sobre Progressão Geométrica

Qual é a diferença entre PA e PG?

Na progressão aritmética (PA), cada termo é obtido somando uma constante (a razão r) ao termo anterior. Já na progressão geométrica (PG), cada termo é obtido multiplicando o termo anterior por uma constante (a razão q). Por isso, a PG tende a crescer ou decrescer muito mais rapidamente do que a PA.

Como saber se uma sequência é uma PG?

Basta dividir cada termo (a partir do segundo) pelo seu antecessor. Se o resultado dessa divisão for sempre o mesmo valor, a sequência é uma progressão geométrica, e esse valor constante é a sua razão q.

Quais são os 4 tipos de progressão geométrica?

A PG pode ser crescente, decrescente, constante ou alternada (oscilante), dependendo do valor do primeiro termo (a1) e da razão (q).

A razão de uma PG pode ser negativa?

Sim. Quando a razão q é negativa, os termos da sequência alternam entre valores positivos e negativos, formando uma PG alternada ou oscilante.

A razão de uma PG pode ser igual a zero?

Não. Por definição, a razão q de uma progressão geométrica é sempre diferente de zero, pois um valor nulo tornaria a divisão entre os termos indefinida a partir de determinado ponto da sequência.

A soma dos infinitos termos de uma PG pode ser um número finito?

Sim, desde que a razão q esteja entre −1 e 1 (ou seja, −1 < q < 1). Nesse caso, a PG é chamada de infinita convergente, e a soma de todos os seus termos é dada pela fórmula S∞ = a1 / (1 − q).

Gostou deste conteúdo? Continue seus estudos com os Cursos Gratuitos do Professor Ferretto e turbine sua preparação para o ENEM e os vestibulares!

Quer descobrir quais assuntos de matemática mais caem nas provas que você vai prestar? Conheça a Análise de Incidência ENEM’s Anatomy e estude com direcionamento total!

Deseja uma preparação completa em matemática e ciências da natureza? Conheça os planos e cursos da Plataforma do Professor Ferretto e venha com a gente garantir sua vaga no ensino superior!

Leia Também: Continue Estudando Progressão Geométrica

• Termo Geral da PG: Conheça a Fórmula e suas Propriedades!
• Soma dos Termos de uma PG Finita
• Interpolação de Meios Geométricos
• Notações Especiais de uma Progressão Geométrica (PG)
• Definição e Classificação de uma Progressão Aritmética (PA)

Espero que os conceitos introdutórios da PG estejam mais claros agora! Afinal, saber diferenciar quando uma sequência forma uma PA ou uma PG é essencial para resolver com segurança as questões do ENEM e dos vestibulares. Um abraço a todos e bons estudos!