Triângulo Equilátero: propriedades, área, altura e perímetro

Olá, pessoal! Tudo bem por aí?

Hoje voltamos a falar sobre geometria plana, e desta vez o protagonista é o triângulo equilátero.

Esse polígono aparece o tempo todo nas provas de vestibulares e do Enem, e por isso conhecer bem as suas propriedades pode ser decisivo na hora de resolver uma questão.

Assim, para começar com o pé direito, vamos direto à definição: o triângulo equilátero é o triângulo que possui os três lados congruentes entre si, ou seja, com exatamente a mesma medida, que chamaremos aqui de “l”.

Como consequência direta dessa igualdade entre os lados, os três ângulos internos também acabam sendo congruentes entre si.

Portanto, basta conhecer a medida do lado l para deduzir praticamente tudo sobre esse triângulo: seus ângulos, sua altura, seu perímetro, sua área e até os raios das circunferências inscrita e circunscrita a ele. É exatamente esse caminho que vamos percorrer juntos neste texto.

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O que é um triângulo equilátero?

Como vimos, um triângulo é chamado de equilátero quando os seus três lados têm exatamente a mesma medida.

Essa é justamente a característica que dá nome à figura, pois “equi” remete à ideia de igual, e “látero”, à ideia de lado.

Dessa forma, todo triângulo equilátero é, também, um caso particular de triângulo isósceles. Isso porque, se todos os três lados são iguais, em especial dois deles também são. Já o contrário não é verdadeiro, uma vez nem todo triângulo isósceles é equilátero.

Caso você queira revisar essa e as demais classificações, como, isósceles, escaleno, retângulo, acutângulo e obtusângulo, vale a pena conferir também o nosso texto sobre Classificação dos Triângulos.

Vamos, então, tirar algumas conclusões a partir do esboço de um triângulo equilátero. Vem comigo aqui!

Propriedades do triângulo equilátero

Como acabamos de ver, um triângulo equilátero possui os seus três lados congruentes entre si, que chamaremos de “l”.

Uma consequência direta disso é que seus três ângulos internos também acabam tendo a mesma medida. Mas você sabe como é possível determinar exatamente o valor de cada ângulo interno de um triângulo equilátero?

O fato é que a soma dos ângulos internos de qualquer triângulo deve ser sempre igual a 180°.

Logo, como o triângulo equilátero possui os 3 ângulos internos iguais, basta dividirmos 180° por 3 para chegar ao valor de cada um deles.

Assim, 180° ÷ 3 = 60°, e é por isso que cada um dos ângulos internos de um triângulo equilátero mede sempre 60°.

Além dos lados e dos ângulos iguais, o triângulo equilátero guarda outras duas propriedades que costumam aparecer em provas:

• Ele possui 3 eixos de simetria — cada um passando por um vértice e pelo ponto médio do lado oposto a ele. É, inclusive, o único tipo de triângulo com mais de um eixo de simetria (o isósceles tem apenas 1, e o escaleno não tem nenhum).

• Em relação a qualquer um de seus vértices, a altura, a bissetriz, a mediana e a mediatriz relativas ao lado oposto coincidem: são o mesmo segmento de reta. Essa propriedade é consequência direta da simetria do triângulo equilátero, e será muito útil daqui a pouco, quando formos deduzir a fórmula da sua altura.

A partir dessas características, podemos definir facilmente três fórmulas fundamentais para o triângulo equilátero, quais sejam: o seu perímetro, a sua altura e a sua área; sempre em função da medida do lado l. Vamos começar pela mais simples de todas.

Perímetro do triângulo equilátero

O perímetro de qualquer polígono corresponde à soma das medidas de todos os seus lados.

Como o triângulo equilátero possui os três lados de mesma medida l, o cálculo do seu perímetro fica bastante direto: basta multiplicar a medida do lado por 3.

P = 3 · l

Onde:

P: perímetro do triângulo equilátero

l: medida do lado do triângulo

Por exemplo, um triângulo equilátero de lado igual a 5 cm possui perímetro P = 3 · 5 = 15 cm. Simples assim!

Guarde bem essa fórmula, porque ela também será importante mais adiante, quando compararmos o perímetro com a altura e com a área na nossa tabela-resumo.

Altura do triângulo equilátero

Agora que já conhecemos o perímetro, vamos deduzir a fórmula da altura do triângulo equilátero com relação à medida do seu lado l.

Lembre-se de que a altura deve ser sempre a medida do segmento que sai de um dos vértices do triângulo e forma 90° com o lado oposto a esse vértice — nesse caso, com a base do triângulo —, como mostra a figura a seguir:

Como vimos na propriedade da simetria, o segmento formado pela altura do triângulo equilátero, que chamaremos de h, acaba dividindo o triângulo ao meio.

Vamos aproveitar essa ideia e utilizar apenas uma das metades do triângulo para definir o valor exato da altura h.

Isso porque, dessa forma, obteremos um triângulo retângulo, e essa figura geométrica possui uma série de relações interessantes que poderemos aplicar aqui, isso inclui o Teorema de Pitágoras, que é justamente o caminho que muitos livros didáticos utilizam para chegar a essa mesma fórmula.

Se quiser revisar esse teorema antes de seguir, vale a pena conferir o nosso texto sobre o Teorema de Pitágoras.

Nós já estudamos no texto sobre Relações Métricas no Triângulo Retângulo que o maior lado de um triângulo retângulo é sempre a sua hipotenusa.

Aprendemos, ainda, que os demais lados, aqueles que formam um ângulo de 90° entre si, são os catetos do triângulo. Repare, então, que o cateto h é o cateto oposto ao ângulo de 60° que aparece na imagem.

Assim, conhecendo as relações trigonométricas que podem ser aplicadas ao triângulo retângulo, isto é, seno, cosseno e tangente, sabemos que aquela que relaciona diretamente o cateto oposto h e a hipotenusa (que é o lado l do triângulo) é o seno.

Esse é o ponto de partida para definirmos a fórmula da altura do triângulo equilátero. Vejam só:

Uma vez que conhecemos o valor do seno de 60°, podemos obter uma relação entre a medida do lado do triângulo equilátero e a sua altura.

Por isso, vale a pena guardar a tabela dos ângulos notáveis a seguir, já que é a partir do valor apresentado nela que continuaremos nossa dedução.

Observe que, para determinar a altura do triângulo equilátero, basta multiplicar a medida do lado desse triângulo pela raiz quadrada de 3 e, em seguida, dividir o resultado por 2:

h = (l√3) / 2

Área do triângulo equilátero

Com a fórmula da altura em mãos, vamos descobrir agora qual é a fórmula da área de um triângulo equilátero. Para isso, partiremos da fórmula utilizada para calcular a área de todo e qualquer triângulo:

Comparando o triângulo genérico da imagem acima com o triângulo equilátero que estamos analisando, percebemos que o valor da base, no nosso caso, é l. Já em relação à altura, devemos lembrar que acabamos de deduzi-la também em função de l.

Substituindo, então, todos os valores na fórmula, chegaremos a uma conclusão bastante interessante. Acompanhe:

Chegamos, finalmente, à nossa tão esperada fórmula da área:

A = (l²√3) / 4

Mas será que, em meio a tantas fórmulas, é possível memorizar mais essa? É claro que sim! Fique ligado na dica que vamos passar a seguir.

Observe como a sequência de números 2, 3 e 4 pode ajudar a memorizar a fórmula: basta dispor os números na ordem apresentada acima e, em seguida, adicionar a letra l, a raiz quadrada e o sinal de divisão.

Ficou mais fácil agora, não é?

Tabela-resumo das fórmulas do triângulo equilátero

Agora que já deduzimos todas as fórmulas principais, chegou a hora de reunir tudo em um só lugar.

Use a tabela abaixo sempre que precisar relembrar rapidamente qualquer uma delas; inclusive as fórmulas do apótema e do raio da circunferência circunscrita, que vamos deduzir logo na sequência.

Grandeza	Fórmula	O que representa
Perímetro	P = 3l	Soma das medidas dos três lados
Altura	h = (l√3) / 2	Segmento perpendicular à base, do vértice oposto até ela
Área	A = (l²√3) / 4	Medida da superfície interna do triângulo
Apótema (r)	r = h / 3	Raio da circunferência inscrita no triângulo
Raio circunscrito (R)	R = 2h / 3 = 2r	Raio da circunferência que passa pelos três vértices

Circunferências inscrita e circunscrita no triângulo equilátero

Assim, podemos seguir e conhecer duas propriedades que envolvem os raios das circunferências inscrita e circunscrita ao triângulo equilátero. Vem comigo aqui!

Circunferência inscrita e o apótema r

O apótema de um triângulo equilátero nada mais é do que o raio da circunferência que está inscrita nele.

Em outras palavras, quando uma circunferência se encontra “dentro” de um triângulo equilátero, dizemos que ela está inscrita nele. Nesse caso, o seu raio é chamado de apótema, representado por r.

A figura abaixo mostra mais detalhadamente o apótema de um triângulo equilátero.

Acontece que, incrivelmente, se traçarmos o segmento que representa a altura do triângulo equilátero, veremos que o apótema r cabe exatamente 3 vezes nesse segmento.

Ou seja, a altura desse tipo de triângulo é sempre igual ao triplo do seu apótema, como mostra a imagem:

Assim, também podemos dizer que o apótema de qualquer triângulo equilátero equivale a 1/3 da sua altura:

Circunferência circunscrita e o raio R

Já no caso em que a circunferência é circunscrita ao triângulo equilátero, isto é, quando ela se encontra por fora desse triângulo, o seu raio não recebe uma denominação específica e é representado por R, que, naturalmente, sempre será maior do que o apótema do triângulo.

Veja como representá-lo:

Se traçarmos novamente o segmento que representa a altura do triângulo equilátero e o dividirmos em três partes, veremos que o raio R da circunferência circunscrita ocupa duas dessas três partes que formam a altura. Logo, 2/3 da altura.

Assim, chegamos a uma nova conclusão:

Relação entre o raio R e o apótema r

Comparando as duas fórmulas que acabamos de obter, você percebeu algum detalhe interessante?

O apótema r, ou raio da circunferência inscrita no triângulo equilátero, equivale a 1/3 da altura do triângulo. Já o raio R da circunferência circunscrita equivale a 2/3 da altura desse mesmo triângulo.

E como 2/3 é exatamente o dobro de 1/3, também podemos dizer que o raio R da circunferência circunscrita ao triângulo equilátero é igual ao dobro do raio da circunferência inscrita nesse mesmo triângulo. Portanto, igual ao dobro do apótema r:

Essas duas relações, aliás, são um bom exemplo de como o triângulo equilátero também se conecta com o estudo das circunferências.

Se quiser se aprofundar nesse tema, vale a pena conferir também o nosso texto sobre Relações Métricas na Circunferência.

Exercícios resolvidos sobre triângulo equilátero

Chegou a hora de colocar tudo o que aprendemos em prática. Preparamos três exercícios, em ordem crescente de dificuldade, para você fixar bem as fórmulas do triângulo equilátero. Vamos lá!

Exercício 1 — Perímetro e área

Um triângulo equilátero possui lado medindo 8 cm. Calcule o seu perímetro e a sua área.

Resolução:

Para o perímetro, basta aplicar diretamente a fórmula P = 3 · l:

P = 3 · 8 = 24 cm

Já para a área, aplicamos a fórmula A = (l²√3) / 4:

A = (8²·√3) / 4 = (64√3) / 4 = 16√3 cm²

Como √3 ≈ 1,73, temos A ≈ 27,7 cm². Portanto, esse triângulo possui perímetro de 24 cm e área aproximada de 27,7 cm².

Exercício 2 — Da altura até o apótema e o raio circunscrito

A altura de um triângulo equilátero mede 6√3 cm. Determine, nessa ordem, a medida do lado, o perímetro, o apótema (r) e o raio da circunferência circunscrita (R) a esse triângulo.

Resolução:

Partimos da fórmula da altura, h = (l√3) / 2, substituindo o valor de h:

6√3 = (l√3) / 2 → l = (6√3 · 2) / √3 = 12 cm

Logo, o perímetro é P = 3 · 12 = 36 cm.

Para o apótema, usamos r = h / 3:

r = (6√3) / 3 = 2√3 cm

E para o raio circunscrito, usamos R = 2h / 3:

R = (2 · 6√3) / 3 = 4√3 cm

Repare que, como esperado, R corresponde exatamente ao dobro de r (2 · 2√3 = 4√3) — exatamente a relação que deduzimos ali atrás.

Exercício 3 — Triângulo equilátero inscrito em uma progressão geométrica (avançado)

O lado, a altura e a área de um triângulo equilátero inscrito em um círculo formam, nessa ordem, uma progressão geométrica. Calcule o raio desse círculo.

Resolução:

Vamos começar observando com cuidado as informações que o enunciado nos oferece.

Note que estamos falando de um triângulo equilátero inscrito em um círculo. Logo, é o triângulo que se encontra dentro da circunferência.

Portanto, o raio que buscamos é justamente aquele representado por R, ou seja, o raio da circunferência circunscrita ao triângulo equilátero.

Acontece que o lado, a altura e a área desse triângulo equilátero inscrito formam, nessa ordem, uma PG. Já estudamos no texto sobre Definição e Classificação de uma Progressão Geométrica (PG) que uma progressão geométrica é uma sequência numérica que cresce ou decresce a partir do produto de seus termos por um valor constante, a razão da PG.

Assim, podemos dizer que o primeiro termo da sequência desta questão é o lado l, o segundo termo é a altura h, e o terceiro é a área do nosso triângulo inscrito na circunferência:

Antes de mais nada, é importante lembrar que já definimos, neste texto, as fórmulas da altura e da área de um triângulo equilátero com relação ao seu lado l.

Por isso, vamos substituir essas fórmulas na sequência, e assim trabalharemos apenas com uma única incógnita.

Como os termos de uma PG estão relacionados por uma razão — que chamamos de q —, e essa razão pode ser obtida dividindo um termo sucessor pelo seu antecessor em qualquer ponto da sequência, podemos dizer que:

Substituindo, então, os nossos termos em função do lado l nas razões apresentadas acima, conseguimos obter facilmente a medida do lado do triângulo equilátero. Veja só:

Finalmente descobrimos a medida do lado do nosso triângulo equilátero, mas lembre-se de que a questão pede o raio R da circunferência circunscrita.

E agora? É simples: já conhecemos a fórmula do raio R em função da altura h, e também já conhecemos a fórmula de h em função do lado l. Como já temos o valor de l, basta realizar essas substituições:

Repare que a única complexidade deste exercício foi utilizar os conceitos de progressão geométrica para encontrar a medida do lado l do triângulo.

No mais, aplicamos boa parte das fórmulas que vimos ao longo deste texto.

Perguntas frequentes sobre o triângulo equilátero

Quantos eixos de simetria tem um triângulo equilátero?

O triângulo equilátero possui 3 eixos de simetria.

Cada um deles passa por um vértice e pelo ponto médio do lado oposto a esse vértice.

É, portanto, o único tipo de triângulo com mais de um eixo de simetria: o isósceles tem apenas 1, e o escaleno não possui nenhum.

Qual é a diferença entre triângulo equilátero e triângulo isósceles?

O triângulo equilátero tem os três lados congruentes, enquanto o isósceles tem apenas dois lados congruentes (e o terceiro, chamado de base, com medida diferente).

Dessa forma, todo triângulo equilátero também é um caso particular de isósceles — mas o contrário nem sempre é verdadeiro.

Existe triângulo equilátero que também é retângulo?

Não. Todo ângulo interno de um triângulo equilátero mede 60°, e um triângulo retângulo precisa ter um ângulo de 90°. Como 60° é diferente de 90°, essas duas classificações nunca podem coexistir no mesmo triângulo.

Como calcular a área do triângulo equilátero sabendo apenas o lado?

Basta aplicar a fórmula A = (l²√3) / 4, em que l é a medida do lado do triângulo.

Não é necessário calcular a altura separadamente antes, já que essa fórmula já parte apenas da medida do lado.

Qual é a relação entre o apótema e o raio da circunferência circunscrita?

O raio R da circunferência circunscrita é sempre igual ao dobro do apótema r (raio da circunferência inscrita). Isso acontece porque r equivale a 1/3 da altura do triângulo, enquanto R equivale a 2/3 dessa mesma altura.

Para fechar

Por hoje, ficamos por aqui! Esperamos que este texto tenha sido proveitoso para os seus estudos e que as fórmulas e dicas apresentadas possam ser usadas com facilidade no momento certo, seja em uma prova do Enem, seja em um vestibular. Aproveite e turbine seus estudos com os Cursos Gratuitos do Professor Ferretto!

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Um abração! Nos vemos no próximo texto!