Paralelogramo: o que é, propriedades, área e perímetro

O paralelogramo é um quadrilátero cujos lados opostos são paralelos e congruentes. Estudar as propriedades do paralelogramo significa entender algumas definições sobre as medidas de seus lados, suas diagonais e seus ângulos internos — e, a partir delas, calcular com segurança a área e o perímetro dessa figura.

Olá, pessoal! Tudo bem?

Os quadriláteros, dentro da geometria plana, são os polígonos que possuem quatro lados. Mas é só a gente parar um pouco para pensar, que logo nos vem a mente uma série de figuras geométricas que possuem 4 lados, não é? Nosso texto de hoje abordará apenas uma delas, o paralelogramo, e também suas propriedades! Além disso, descobriremos juntos como calcular a área e o perímetro de um paralelogramo, e ainda como essa figura se relaciona com o quadrado, o retângulo e o losango — conceitos que podem nos ajudar a resolver inúmeras questões do ENEM e dos vestibulares!

Preparados!? Então, sem mais delongas, vamos iniciar o estudo dos paralelogramos. Venham comigo!

O Que É um Paralelogramo?

Antes de aprofundarmos nas propriedades, vale a pena formalizar a definição. Um paralelogramo é um quadrilátero convexo que possui dois pares de lados opostos paralelos entre si. Assim, se chamarmos os vértices dessa figura de A, B, C e D, os lados AB, BC, CD e DA formam dois pares de segmentos paralelos: AB é paralelo a DC, e AD é paralelo a BC.

Para quem não conhece, a figura geométrica apresentada na imagem acima é um paralelogramo! O formato dessa figura é resultante de uma série de propriedades que envolvem as medidas de seus lados, de as suas diagonais e também dos seus ângulos internos. Vamos estudar cada uma dessas propriedades agora mesmo. É só seguir comigo!

Todo paralelogramo possui, ainda, duas diagonais — os segmentos AC e BD, que ligam os vértices opostos — e, por ser um quadrilátero, a soma de seus quatro ângulos internos é sempre igual a 360°. Três quadriláteros muito conhecidos são, na verdade, casos particulares de paralelogramo: o quadrado, o retângulo e o losango. Mais adiante neste texto, veremos exatamente o que diferencia cada uma dessas figuras.

Propriedades do Paralelogramo

Propriedade 1 — Ângulos Opostos Congruentes

A primeira propriedade nos mostra que em qualquer paralelogramo, os dois ângulos opostos possuem o mesmo valor. Mas vocês sabem o que são ângulos opostos? A imagem abaixo tentará esclarecer esse detalhe.

Propriedade 2 — Lados Opostos Paralelos e Congruentes

A propriedade anterior nos informou que os dois ângulos opostos do paralelogramo são sempre congruentes, ou seja, possuem a mesma medida. Felizmente, podemos dizer que os lados opostos do paralelogramo também possuem o mesmo comprimento.

Mas para entendermos a segunda propriedade por completo, precisamos conhecer a definição de “paralelo” para a geometria. Dois segmentos distintos são paralelos, quando mantém a mesma distância entre si ao longo de toda a sua extensão, de forma a jamais se cruzar, ou ter algum ponto em comum.

Reparem nos segmentos da figura acima. Eles representam os dois lados opostos de um paralelogramo, só que a título de exemplo, eles foram  levemente aproximados. Se nós os observarmos com atenção, veremos que esses segmentos realmente nunca poderão se encontrar se manterem a mesma distância entre si ao longo de toda a sua extensão. Isso nos mostra que os dois lados opostos do paralelogramo são mesmo paralelos.

Propriedade 3 — Diagonais que se Interceptam no Ponto Médio

Todo o quadrilátero convexo possui duas diagonais, como as que vemos na imagem acima. Acontece que no paralelogramo, o ponto em que as duas diagonais se encontram, e que chamamos de M, acaba sendo o ponto médio de ambas as diagonais.

O ponto médio de um segmento sempre irá o dividi-lo pela metade. Por isso, vocês podem ter certeza que a diagonal AD, do paralelogramo acima, mede 4 cm, enquanto que a diagonal BC mede 2 cm.

Propriedade 4 — Ângulos Consecutivos Suplementares

Para entendermos a última propriedade dos paralelogramos, vamos relembrar, primeiramente, o que são ângulos suplementares. Dois ângulos α e β são suplementares, se a soma de seus valores resultar em 180º.

α + β = 180º

Agora, vamos ao conceito de ângulos consecutivos. Um ângulo é consecutivo a outro, quando vem depois do outro, ou quando se encontra na sequência do outro. Na imagem abaixo, vejam, se tomarmos por base o ângulo α que se encontra mais a esquerda no paralelogramo, temos que o ângulo que aparece na sequência é o β. Por isso, α e β são consecutivos. Para simplificar, entendam ângulos consecutivos como ângulos “vizinhos”, como também mostra a imagem seguinte.

Exemplo de Aplicação das Propriedades do Paralelogramo

Dado o paralelogramo da imagem acima, encontre todos os seus demais ângulos internos.

Pensando na primeira propriedade dos paralelogramos, podemos definir, logo de cara, o ângulo oposto ao ângulo de 30º apresentado na imagem.

Agora, já podemos utilizar a 4ª propriedade dos paralelogramos! Isso porque o ângulo que ainda não conhecemos é o ângulo consecutivo, ou vizinho de 30º. Se consideramos este ângulo como sendo α, encontraremos o valor de β num instante através da relação dos ângulos suplementares, vejam só!

α + β = 180º

30º + β = 180º

β = 180º – 30º

β = 150º

Tranquilo, não é mesmo? Assim, podemos partir para o próximo item do texto. Veremos na sequência, como encontrar a área de um paralelogramo. Sigam comigo!

Área do Paralelogramo

Para calcular a quantidade de m², cm², km² de uma figura geométrica, ou seja, para calcular a sua área, precisamos conhecer o valor de suas dimensões. No caso do paralelogramo, devemos conhecer o valor de sua base, representada por b, e de sua altura, representada por h.

Vejam na imagem acima, que a altura do paralelogramo é a medida daquele segmento que sai da base b, formando um ângulo de 90º com ela, e vai em direção ao lado oposto do paralelogramo. Nesse sentido, é muito importante não confundir o seguinte detalhe: a medida da altura de um paralelogramo não é igual a medida de um de seus lados!

Conhecendo o comprimento da base e da altura do paralelogramo, é possível definir a sua área através da fórmula:

É verdade que observando o segmento que representa a altura do paralelogramo, poderíamos pensar que a fórmula não condiz com a sua real área. Mas se analisarmos o caso por outro lado, não teremos dúvidas de que a fórmula está correta.

O fato é que todos os quadriláteros podem ser considerados como a união de dois ou mais triângulos. Vejam na imagem acima, que o paralelogramo é formado por dois triângulos. A fórmula da área do triângulo é equivalente a metade do produto entre a sua base e a sua altura. Aí eu pergunto: o que acontece quando unimos duas metades de um todo? Temos um valor inteiro, não é? Por isso, a área de um paralelogramo pode sim ser dada pelo produto entre a medida de sua base e a medida de sua altura.

Muito bem! Já sabemos calcular a área de um paralelogramo. Mas, para resolver completamente as questões do ENEM e dos vestibulares, também precisamos saber encontrar o seu perímetro. Vamos conferir agora como fazer isso.

Perímetro do Paralelogramo

O perímetro de qualquer polígono corresponde à soma das medidas de todos os seus lados. Como vimos na segunda propriedade, os lados opostos de um paralelogramo são sempre congruentes. Assim, se os dois lados diferentes de um paralelogramo medem a e b, o seu perímetro é dado por:

P = 2 · (a + b)

Onde P representa o perímetro, e a e b são as medidas de dois lados consecutivos do paralelogramo.

Por exemplo, imagine um paralelogramo cujos lados medem 8 cm e 5 cm. Nesse caso, o seu perímetro será:

P = 2 · (8 + 5)

P = 2 · 13

P = 26 cm

Guardem bem essa fórmula, pois ela costuma aparecer em questões que envolvem terrenos, cercas e contornos de figuras — assim como acontece com o retângulo, que é também um caso particular de paralelogramo, como veremos a seguir.

Paralelogramo, Retângulo, Losango e Quadrado: Qual É a Diferença?

Uma dúvida muito comum entre os estudantes é entender como o paralelogramo se relaciona com outras figuras conhecidas, como o quadrado, o retângulo e o losango. Por conseguinte, vale a pena esclarecer esse ponto antes de seguirmos para os exercícios.

Na prática, o quadrado, o retângulo e o losango são casos particulares de paralelogramo: todos eles herdam as quatro propriedades que estudamos neste texto, mas cada um acrescenta uma característica exclusiva. Confira o resumo das fórmulas de área e perímetro de cada um na tabela abaixo:

Figura	Lados	Ângulos	Área	Perímetro
Paralelogramo	Opostos paralelos e congruentes	Opostos congruentes; consecutivos somam 180°	A = b × h	P = 2 · (a + b)
Retângulo	Opostos paralelos e congruentes	Quatro ângulos retos (90°)	A = b × h	P = 2 · (b + h)
Losango	Quatro lados congruentes	Opostos congruentes; consecutivos somam 180°	A = (D × d) / 2	P = 4 · l
Quadrado	Quatro lados congruentes	Quatro ângulos retos (90°)	A = l²	P = 4 · l

 

Dessa forma, fica claro que quanto mais características exclusivas uma figura acumula, mais “especial” ela se torna dentro da família dos paralelogramos — sendo o quadrado a mais completa de todas, por reunir propriedades do retângulo e do losango ao mesmo tempo. Se quiser se aprofundar em cada uma dessas figuras, confira nossos textos completos sobre o Quadrado, o Retângulo e o Losango.

Exercício Resolvido: Área de um Polígono Dentro do Paralelogramo

Na figura abaixo, ABCD é um paralelogramo de área igual a 24 cm². M e N são pontos médios de BC e CD, respectivamente. Determine a área do polígono AMND.

Vejam, pessoal, que o exercício está nos pedindo para calcular a área da polígono verde, que está dentro do paralelogramo. Mas assim, só de olhar, vocês saberiam dizer o nome dessa figura geométrica? Retângulo, paralelogramo, triângulo, losango, … Pois é, parece que não sabemos nada sobre ela. Agora, reparem nas partes que não pertencem a área verde dentro do paralelogramo. Não são triângulos? Opa, dessas figuras nós sabemos como encontrar a área!

É essa sacada que precisamos ter para resolver exercícios do ENEM e dos vestibulares. Às vezes a solução dos problemas não é óbvia, mas é muito simples! Nosso foco agora, será encontrar a área desses dois triângulos externos ao polígono AMND. Depois, é só descontar os resultados do valor da área do paralelogramo como um todo, os 24 cm² dados no enunciado.

Fazer uso do desenho é algo muito importante, principalmente na geometria plana. Nesse sentido, a fim de não nos perdermos na resolução do caso, chamaremos um dos triângulos da figura de número 1 e o outro de número 2.

Observem que na imagem acima, também já estão identificadas as medidas da base e da altura do paralelogramo, como b e h, respectivamente. Assim, podemos afirmar com toda a certeza que:

24 = b × h

Certo, mas e a área dos nossos triângulos? Agora chegou o momento em que devemos interpretar direitinho como aqueles pontos M e N podem nos ajudar a resolver a questão.

Utilizando o Conceito de Ponto Médio

O próprio enunciado nos diz: “M e N são pontos médios de BC e CD, respectivamente”. Ora, se eles são pontos médios do segmento em que se encontram, então quer dizer que eles dividem esses segmentos pela metade, como vimos neste texto!

Conhecendo esse detalhe, nós conseguimos definir que a medida da base do triângulo 1 é igual a medida da base do paralelogramo, b. Já a sua altura, certamente será a metade da altura do paralelogramo, ou h/2, como mostra a imagem acima. Com relação ao triângulo 2, podemos perceber que a medida da sua base será a metade da medida da base do paralelogramo, ou seja, b/2, enquanto que sua altura, será igual a do triângulo 1, h/2. Substituindo esses valores na fórmula da área do triângulo, podemos chegar a algumas conclusões:

Calculando a Área do Polígono AMND

E agora? Encontramos os valores das áreas de ambos os triângulos, contudo, o que fazer com as incógnitas

Neste momento, já temos condições de calcular a área da figura AMND que a questão nos pede. Vamos descontar da área do paralelogramo, as áreas dos dois triângulos que não compõem a figura.

A_AMND = A_{paralelogramo} – A_t1 – A_t2

A_AMND = 24 – 6 – 3

A_AMND = 15 cm²

Show de bola! Agora que já vimos passo a passo como resolver esse tipo de questão, que tal praticar um pouco mais? Preparamos mais alguns exercícios para vocês testarem o que aprenderam — depois é só conferir o gabarito comentado.

Exercícios Propostos

Exercício 1 — Área a partir da base e da altura

Enunciado: Um paralelogramo possui base de 12 cm e altura de 7 cm. Qual é a sua área?

Resolução: basta aplicar diretamente a fórmula A = b × h:

A = 12 × 7

A = 84 cm²

Gabarito: área = 84 cm².

Exercício 2 — Perímetro a partir de dois lados

Enunciado: Em um paralelogramo, um dos lados mede 9 cm, e o lado consecutivo mede 6 cm. Qual é o perímetro dessa figura?

Resolução: aplicando a fórmula do perímetro:

P = 2 · (9 + 6)

P = 2 · 15

P = 30 cm

Gabarito: perímetro = 30 cm.

Exercício 3 — Ângulos internos

Enunciado: Em um paralelogramo ABCD, o ângulo A mede 65°. Determine a medida dos outros três ângulos internos dessa figura.

Resolução: pela quarta propriedade que estudamos neste texto, o ângulo B, consecutivo a A, é suplementar a ele:

A + B = 180°

65° + B = 180°

B = 115°

Já pela primeira propriedade, os ângulos opostos são congruentes. Logo, o ângulo C é oposto a A, e o ângulo D é oposto a B:

C = A = 65°

D = B = 115°

Gabarito: B = 115°, C = 65° e D = 115°.

Perguntas Frequentes sobre o Paralelogramo

O que é um paralelogramo?

Um paralelogramo é um quadrilátero convexo que possui dois pares de lados opostos paralelos e congruentes entre si. O quadrado, o retângulo e o losango são casos particulares dessa figura.

Quais são as propriedades de um paralelogramo?

Todo paralelogramo possui quatro propriedades principais: os ângulos opostos são congruentes; os lados opostos são paralelos e congruentes; as diagonais se interceptam nos seus pontos médios; e os ângulos consecutivos são suplementares, ou seja, somam 180°.

Qual é a fórmula da área do paralelogramo?

A área do paralelogramo é dada por A = b × h, onde b é a medida da base e h é a medida da altura — o segmento perpendicular à base.

Qual é a fórmula do perímetro do paralelogramo?

O perímetro é dado por P = 2 · (a + b), onde a e b são as medidas de dois lados consecutivos do paralelogramo.

O quadrado, o retângulo e o losango são paralelogramos?

Sim! Os três são casos particulares de paralelogramo: o retângulo acrescenta a exigência de todos os ângulos retos; o losango, a de todos os lados congruentes; e o quadrado reúne as duas características ao mesmo tempo.

Qual é a diferença entre paralelogramo e trapézio?

A diferença está no número de lados paralelos: o paralelogramo tem dois pares de lados opostos paralelos, enquanto o trapézio tem apenas um par de lados paralelos — as chamadas base maior e base menor.

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Espero que este texto tenha ajudado vocês a dominar de vez as propriedades, a área e o perímetro do paralelogramo, e que possam aplicar tudo isso com facilidade sempre que precisarem.

Em anexo, é claro, fica o vídeo que complementa o assunto. Deem uma olhada nele, garanto que vocês encontrarão mais alguns exercícios resolvidos e assim, estarão prontos para responder qualquer questão sobre o assunto!

Um abraço a todos! E ótimos estudos!