Inequação do 1º Grau: guia completo com exercícios resolvidos

Uma inequação do 1º grau é uma desigualdade entre duas expressões algébricas de grau 1, escrita com os sinais >, <, ≥, ≤ ou ≠ no lugar do sinal de igual. Resolvê-la significa encontrar todos os valores de x que tornam essa desigualdade verdadeira — e, diferente da equação, a resposta quase sempre é um intervalo de números, não um único valor.

Neste guia, você vai entender os sinais de desigualdade, aprender o passo a passo para resolver qualquer inequação do 1º grau, representar o conjunto solução na reta numérica e ainda praticar com exercícios resolvidos e propostos.

Quando Gilberto Gil canta que “tudo é tão desigual”, ele não está exagerando: na matemática, as relações de desigualdade — as inequações — são tão importantes quanto as igualdades, e caem com frequência no Enem e nos vestibulares, seja em questões diretas, seja escondidas dentro de problemas de lucro mínimo, faixas de idade ou planos de serviço.

Assim, dominar a inequação do 1º grau é um passo essencial para garantir pontos com tranquilidade nessas provas.

E por falar em se preparar com tranquilidade, vale lembrar que a plataforma do Professor Ferretto tem planos de estudo focados na matemática do Enem, na matemática dos vestibulares, ou nos dois ao mesmo tempo — assim, você não perde tempo estudando o que não precisa.

O que é uma inequação do 1º grau?

Para entender o que é uma desigualdade, vale compará-la primeiro a uma igualdade — ou seja, à já conhecida equação do 1º grau. Afinal, o que buscamos ao resolver uma equação como esta?

3x + 5 = 8

A equação acima afirma que a expressão “3x + 5″ deve ser exatamente igual a “8”, porque existe um sinal de igualdade entre os termos, o “=”. Portanto, quando resolvemos uma equação como essa, buscamos o único valor de x que a torna verdadeira. Acompanhe a resolução abaixo:

Repare, na verificação a seguir, por que apenas um único valor de x torna a sentença verdadeira:

Qualquer valor de x diferente daquele que encontramos como solução da equação (“x = 1″) não satisfaz a igualdade. Mas, e se em vez do sinal de igual, tivéssemos uma nova expressão?

3x + 5 > 8

Agora não há mais sinal de igualdade entre os termos, e por isso não podemos mais chamá-la de equação, mas sim de inequação do 1º grau. Ela afirma que a expressão “3x + 5″ deve resultar em um valor maior do que “8”, porque existe um sinal de desigualdade entre os termos, o “>”. A resolução, aliás, é praticamente a mesma que a da equação:

Tirando o fato de que o sinal foi alterado, nada muda na resolução em si. Mas, assim como no caso anterior, vamos avaliar a resposta obtida:

Repare que qualquer valor de x maior do que 1 satisfaz a desigualdade — ou seja, torna o lado esquerdo da inequação maior do que o lado direito. E é exatamente aí que mora a diferença: quando resolvemos uma inequação, estamos buscando uma série de valores de x que a satisfaçam, e não um único número.

Por isso, o conjunto solução de uma inequação costuma ser dado na forma de um intervalo, e não de um único valor, como acontece em uma equação. Em notação de conjunto, escrevemos:

Ou seja: todo valor de x que pertença ao conjunto dos números reais e que seja maior do que 1 é solução dessa inequação. Mais adiante, na seção sobre estudo do sinal, você também vai ver como representar essa mesma solução na reta numérica e em notação de intervalo — algo que costuma cair bastante em prova.

Equação x inequação do 1º grau: qual a diferença?

Antes de seguir, um resumo rápido ajuda a fixar a diferença entre os dois conceitos:

Critério	Equação do 1º grau	Inequação do 1º grau
Sinal principal	Igualdade (=)	Desigualdade (>, <, ≥, ≤)
Quantidade de soluções	Geralmente um único valor de x	Um intervalo de valores de x
Representação da solução	Um ponto (S = {valor})	Um trecho da reta numérica
Regra especial	Nenhuma	Inverte o sinal ao multiplicar/dividir por número negativo
Exemplo	3x + 5 = 8 → x = 1	3x + 5 > 8 → x > 1

Sinais de desigualdade

É claro que, se duas coisas são desiguais, elas são diferentes entre si. Por isso existe um sinal que informa quando duas expressões são simplesmente diferentes, o “≠”. Mas, para dizer de que maneira elas são diferentes, precisamos ser mais específicos:

• > — maior que
• < — menor que
• ≥ — maior ou igual a
• ≤ — menor ou igual a
• ≠ — diferente de

Como interpretar os sinais “maior ou igual” e “menor ou igual”

Os sinais “≥” e “≤” costumam causar confusão, mas não há razão para se preocupar: quando eles aparecem em uma inequação, significa que existem duas formas de satisfazê-la. Vimos acima que a inequação 3x + 5 > 8 tem como solução todos os valores de x maiores do que 1. Veja agora o que acontece quando o sinal é “≥”:

Note que, além dos valores de x maiores do que 1, quando x é exatamente igual a 1, a inequação também é verdadeira! Fique atento ao significado da conjunção ou: duas soluções sempre serão válidas — ou uma, ou a outra.

A técnica da “boca” da desigualdade para não errar o lado

Existe, sim, uma lógica visual simples por trás desses sinais:

O lado onde estão os termos de menor valor é a pontinha do sinal — onde ele “se fecha”. Já o lado em que o sinal tem uma abertura é onde ficam os termos de maior valor. Por isso, muitos professores associam esses sinais a uma boca: ela fica aberta para o lado maior, e fechada para o lado menor, como mostra a figura a seguir.

E, para fixar bem essa lógica, nada como alguns exemplos numéricos:

Propriedades das inequações: trocar de lado e multiplicar por −1

Agora, duas situações curiosas envolvendo o sinal de desigualdade merecem atenção especial. Observe o exemplo numérico a seguir:

Para trocar dois números ou termos algébricos de lado em uma equação, costuma-se trocar o sinal desses termos — o que é negativo se torna positivo, e vice-versa. Nas inequações, acontece exatamente a mesma coisa, sem que o sinal de desigualdade precise ser alterado:

Repare que –9 é mesmo menor do que 2; portanto, o sinal continuou sendo aplicado corretamente, mesmo com os números trocando de lado. Mas, e se em vez de trocarmos os números de lado, multiplicássemos ambos os lados da inequação original por “–1”? Em uma equação, isso não traria problema algum. Vamos ver o que acontece em uma inequação:

Será que 2 é mesmo menor que –9? Claro que não! Por isso:

Ao multiplicar (ou dividir) uma inequação por um número negativo, deve-se necessariamente inverter o sinal de desigualdade e trocar o sinal de todos os termos algébricos ou valores numéricos.

Resumindo as duas propriedades que você acabou de ver:

Propriedade	O que diz	O sinal de desigualdade muda?
Trocar termos de lado	Pode-se trocar quaisquer dois termos de lado, desde que o sinal de cada um seja invertido junto	Não
Multiplicar ou dividir por número negativo	Ao multiplicar ou dividir ambos os lados por um número negativo, o sinal de cada termo se inverte	Sim, sempre inverte

Como resolver uma inequação do 1º grau passo a passo

Neste ponto, você já reúne tudo o que precisa para resolver praticamente qualquer inequação do 1º grau. O segredo, como vai ver a seguir, é deixar todos os termos algébricos de um lado e todos os valores numéricos do outro. De forma geral, o caminho é este:

1. Se houver parênteses, aplique a propriedade distributiva para eliminá-los.
2. Agrupe os termos algébricos (com x) de um lado da inequação e os valores numéricos do outro.
3. Simplifique cada lado, somando ou subtraindo os termos semelhantes.
4. Se o coeficiente de x tiver ficado negativo, multiplique toda a inequação por –1 e inverta o sinal de desigualdade.
5. Escreva o conjunto solução, em notação de conjunto e, se preferir, também em notação de intervalo.

Preparado? Então vamos aos exercícios resolvidos.

Exercícios resolvidos de inequação do 1º grau

a) 3x – 5 > 4

Este exemplo não tem mistério: basta trazer todos os valores numéricos para o lado direito da inequação. O conjunto solução, em notação de conjunto e de intervalo, é:

S = {x ∈ ℝ | x > 3} ou, em notação de intervalo, S = (3, +∞)

b) 5 – 2x ≥ x – 10

Aqui, primeiro trazemos os termos algébricos para o lado esquerdo e os valores numéricos para o lado direito. Como o termo com x ficou negativo, multiplicamos toda a inequação por “–1” — e, por isso, também invertemos o sinal de desigualdade. O conjunto solução é:

S = {x ∈ ℝ | x ≤ 5} ou, em notação de intervalo, S = (–∞, 5]

Não é comum, mas você também poderia resolver essa questão trocando de lado os termos algébricos e os valores numéricos, sem precisar inverter o sinal de desigualdade. Observe como chegamos à mesma resposta:

c) 5(x + 3) – 2(x + 1) ≤ 2x + 3

Esse caso dá um pouco mais de trabalho: primeiro é preciso aplicar a propriedade distributiva do lado esquerdo, e depois organizar melhor os termos, antes de separar os termos algébricos dos valores numéricos. Repare que, embora o valor numérico tenha ficado negativo, o termo algébrico (o que carrega o x) ficou positivo — por isso não multiplicamos toda a inequação por “–1”. Isso só seria necessário se a incógnita x estivesse acompanhada de um valor negativo. O conjunto solução é:

S = {x ∈ ℝ | x ≤ –10} ou, em notação de intervalo, S = (–∞, –10]

Estudo do sinal: representando a solução na reta numérica

Você já viu que o conjunto solução de uma inequação pode ser escrito em notação de conjunto, como S = {x ∈ ℝ | x > 1}. Mas, na prática — e principalmente quando o assunto é inequações simultâneas, que exigem comparar duas ou mais soluções ao mesmo tempo —, também é essencial saber representar essa mesma solução na reta numérica e em notação de intervalo.

A regra é simples: o formato da bolinha na reta depende de o valor de referência fazer parte ou não do conjunto solução.

Sinal da inequação	Bolinha na reta numérica	Símbolo no intervalo
> ou <	Aberta (○) — o valor não entra na solução	Parêntese ( )
≥ ou ≤	Fechada (●) — o valor entra na solução	Colchete [ ]

 

Voltando aos dois primeiros exemplos deste guia — x > 1 e x ≥ 1 —, veja como cada um deles fica representado:

Repare que, em x > 1, a bolinha é aberta porque o próprio 1 não satisfaz a desigualdade (1 não é maior que 1); já em x ≥ 1, a bolinha é fechada porque o 1 também é solução. Essa é exatamente a diferença que separa (1, +∞) de [1, +∞) na notação de intervalo — e é um detalhe que costuma decidir questões de prova.

Erros comuns ao resolver inequações do 1º grau

Conhecer os erros mais frequentes é a melhor forma de evitá-los:

1. Esquecer de inverter o sinal ao multiplicar ou dividir a inequação por um número negativo.
2. Inverter o sinal sem necessidade, quando o coeficiente de x já é positivo e nenhuma multiplicação por número negativo foi feita.
3. Confundir bolinha aberta com fechada na reta numérica — lembre-se: > e < usam bolinha aberta; ≥ e ≤ usam bolinha fechada.
4. Apresentar a resposta como um único valor de x, em vez de um intervalo — diferente da equação, a inequação quase sempre tem infinitas soluções.
5. Trocar o sentido do sinal por descuido ao escrever o conjunto solução, sobretudo depois de várias operações seguidas — vale sempre conferir substituindo um valor do intervalo encontrado na inequação original.

Onde a inequação do 1º grau aparece no Enem e nos vestibulares

Assim como a equação do 1º grau, a inequação raramente aparece como um exercício direto de “resolva a inequação abaixo”. Na maioria das vezes, ela está contextualizada dentro de um problema, e a palavra-chave que costuma sinalizar isso são expressões como “a partir de quantos”, “no mínimo”, “no máximo” ou “para que seja vantajoso”.

• Matemática financeira: lucro mínimo, ponto a partir do qual um produto passa a dar lucro, comparação entre planos ou pacotes de serviço.
• Problemas de idade e tempo: faixas de idade que atendem a uma condição, tempo mínimo ou máximo para concluir uma tarefa.
• Geometria: condições para que um perímetro, uma área ou um lado de uma figura respeite um limite.
• Funções: intervalos em que uma função do 1º grau é positiva, negativa ou atinge um valor mínimo desejado.

Veja um exemplo de como isso aparece na prática:

Exemplo contextualizado

Uma loja vende uma camiseta por R$ 45,00 a unidade, além de uma taxa fixa de R$ 20,00 por pedido, qualquer que seja a quantidade comprada. Uma segunda loja vende a mesma camiseta por R$ 50,00 a unidade, sem cobrar taxa de pedido. A partir de quantas camisetas compradas em um único pedido a primeira loja se torna mais vantajosa?

Sendo x o número de camisetas, queremos saber quando o custo da primeira loja fica menor do que o da segunda:

45x + 20 < 50x

20 < 50x – 45x → 20 < 5x → 4 < x → x > 4

Como x representa uma quantidade de camisetas (um número inteiro), a resposta prática é: a partir de 5 camisetas em um único pedido, a primeira loja se torna mais vantajosa. Note como o resultado de uma inequação — um intervalo, x > 4 — é que orienta a resposta final do problema, mesmo quando o contexto pede um número específico.

Exercícios propostos sobre inequação do 1º grau

Agora é sua vez de praticar. Resolva as três inequações abaixo e confira sua resposta no gabarito comentado ao final.

1) Resolva a inequação 4x – 7 < 2x + 5 e apresente o conjunto solução.

2) Resolva a inequação 2(x – 3) ≥ 3x – 1 e apresente o conjunto solução.

3) (Contextualizada) Uma corrida de aplicativo cobra R$ 6,00 fixos mais R$ 1,50 por quilômetro rodado. Outro aplicativo cobra R$ 3,00 fixos mais R$ 2,00 por quilômetro. A partir de quantos quilômetros o primeiro aplicativo passa a ser mais barato?

Gabarito comentado

1) Agrupando os termos: 4x – 2x < 5 + 7 → 2x < 12 → x < 6. Logo, S = {x ∈ ℝ | x < 6}, ou, em notação de intervalo, S = (–∞, 6).

2) Aplicando a distributiva: 2x – 6 ≥ 3x – 1. Agrupando: 2x – 3x ≥ –1 + 6 → –x ≥ 5. Multiplicando por –1 e invertendo o sinal: x ≤ –5. Logo, S = {x ∈ ℝ | x ≤ –5}, ou, em notação de intervalo, S = (–∞, –5].

3) Igualando o custo dos dois aplicativos: 6 + 1,5x < 3 + 2x → 6 – 3 < 2x – 1,5x → 3 < 0,5x → x > 6. Logo, a partir de 7 km rodados (o primeiro número inteiro de quilômetros maior que 6), o primeiro aplicativo passa a ser mais barato.

Perguntas frequentes sobre inequação do 1º grau

O que é uma inequação do 1º grau?

É uma desigualdade entre duas expressões algébricas de grau 1, escrita com os sinais >, <, ≥, ≤ ou ≠. Diferente da equação, sua solução costuma ser um intervalo de valores, e não um único número.

Qual a diferença entre equação e inequação do 1º grau?

A equação tem sinal de igualdade e, geralmente, uma única solução. A inequação tem sinal de desigualdade e sua solução é, na maioria dos casos, um intervalo de valores reais — representado na reta numérica ou em notação de conjunto/intervalo.

Quando devo inverter o sinal de desigualdade?

Sempre que multiplicar ou dividir os dois lados da inequação por um número negativo. Trocar termos de lado, por outro lado, não exige inverter o sinal — desde que o sinal de cada termo trocado também seja invertido.

Como represento a solução de uma inequação na reta numérica?

Marca-se o valor de referência com uma bolinha aberta (quando o sinal é > ou <, e o valor não faz parte da solução) ou fechada (quando o sinal é ≥ ou ≤, e o valor faz parte da solução), e sombreia-se o trecho da reta que corresponde à solução.

Inequação do 1º grau cai no Enem e nos vestibulares?

Sim. O tema aparece tanto em questões diretas de resolução quanto embutido em problemas contextualizados — de matemática financeira, geometria ou comparação de planos e serviços — que pedem para encontrar um intervalo de valores válidos.

Vídeoaula sobre inequação do 1º grau

Para fixar tudo o que você viu até aqui, assista ao vídeo abaixo — nele, o Professor Ferretto resolve uma inequação do 1º grau um pouco mais desafiadora, composta por frações. E se quiser continuar acompanhando dicas rápidas de matemática, vale seguir o Professor Ferretto também no Instagram.

Leia também

• Inequações Simultâneas do 1º Grau — o próximo passo depois deste guia: aprenda a resolver duas ou mais inequações do 1º grau ao mesmo tempo.
• Equação do 1º Grau: guia completo — revise a base sobre equações antes (ou depois) de aprofundar em inequações.

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