DOMÍNIO, CONTRADOMÍNIO E IMAGEM

Olá pessoal! Como vão?

Quando falamos de funções, um assunto muito importante dentro da matemática do ensino médio, os termos domínio, contradomínio e imagem costumam aparecer com frequência. Por isso, conhecer os seus conceitos e não confundi-los, é imprescindível para quem vai prestar alguns vestibulares e até mesmo a prova do ENEM, afinal, quanto mais acertos vierem, melhor! No texto de hoje, vou explicar direitinho como encontrar o domínio, o contradomínio e a imagem das funções que serão apresentadas, e tudo isso, juntamente a exercícios que nos permitem aplicar a teoria de uma maneira muito simples e fascinante!

Mas antes de começarmos, aqui vai uma dica: se vocês desejam aumentar o número de acertos nas provas de matemática do ENEM e dos vestibulares, a plataforma do Professor Ferretto é o lugar certo para iniciar os seus estudos! Lá vocês têm à disposição cerca de 1000 exercícios do ENEM e de vestibulares, todos resolvidos em vídeo! E caso ainda restarem dúvidas, os monitores treinados pelo Professor podem te ajudar a esclarecer a questão de vez no plano diamante. Querem saber mais? É só acessar o site e conferir todos os benefícios do curso!

Agora sim, vamos ao que interessa! No texto Noções de função por meio de conjuntos, nós vimos que dada a existência de uma função f de A em B, A é conhecido como conjunto de partida, B é conhecido como conjunto de chegada, e f, é a própria função que relaciona os elementos desses dois conjuntos. A partir de hoje, nós chamaremos o conjunto A ou de partida de domínio da função f e o conjunto B ou conjunto de chegada, de contradomínio da função f.

Até aí tudo certo, não é mesmo? Mas se A é o domínio, e B é o contradomínio de f, onde é que está o conjunto imagem? Para entendermos como obtê-lo, vamos precisar revisar mais alguns fatos importantes.

Vocês lembram que para confirmar se f era mesmo uma função de A em B, nós costumávamos aplicar todos os valores x dos elementos do conjunto de partida, na função f ? Se os resultados dessas operações fossem elementos do conjunto de chegada, ou seja, se cada um dos elementos de A tivesse apenas um único elemento correspondente no conjunto B, então sim, f poderia ser considerada uma função de A em B.

Um exemplo disso se encontra na função representada em forma de diagrama na imagem acima. Todos os elementos do conjunto A, ou seja, x₁, x₂ e x₃ possuem um único elemento correspondente no conjunto B, que são, respectivamente, y₁, y₃ e y₄. Y₁ foi obtido quando aplicamos o elemento x₁ na função f. O mesmo ocorreu com y₃ e y₄: eles foram obtidos quando aplicamos os elementos x₂ e x₃, respectivamente, em f.

É exatamente nesse ponto que precisamos prestar atenção: todos esses elementos do contradomínio, ou do conjunto B, que são obtidos quando aplicamos os elementos do domínio, ou do conjunto A na função f, formam o conjunto imagem de f. Vejam se não é justamente isso que a definição de imagem nos diz:

A função f aplicada em x ∈  A resulta em um elemento y ∈  B. Esse elemento y é a imagem de x, quando aplicamos a função f.

A partir da figura acima, podemos perceber que o conjunto imagem de uma função, nem sempre compreende todos os elementos do contradomínio desta função. O conjunto imagem é formado, apenas pelos elementos do contradomínio de f que possuem correspondentes no domínio de f. É por isso que nesse exemplo, o elemento y₂ não faz parte da imagem de f, porque ele não possui nenhum elemento correspondente no domínio da função. Mas fiquem tranquilos! Para que uma função exista, todos os elementos de A devem ter necessariamente um único elemento correspondente no conjunto B, mas o contrário não é verdadeiro, ou seja, nem todos os elementos de B precisam ter correspondentes em A. Aqueles elementos do contradomínio que não possuírem correspondentes no domínio de f, apenas não farão parte da imagem da função.

Isso abre espaço para mais um detalhe: se todos, ou uma alguns elementos do contradomínio de uma função formam o conjunto imagem desta função, significa que o conjunto imagem é subconjunto do contradomínio de f. Também podemos dizer que o conjunto imagem é parte do contradomínio de f, ou que está contido no contradomínio.

E aí, será que tudo ficou claro? Vamos revisar brevemente os conceitos que vimos até então.

• Todos os elementos do conjunto A, ou conjunto de partida, formam o domínio (D) da função f.
• Todos os elementos do conjunto B, ou conjunto de chegada, formam o contradomínio (CD) da função f.
• O conjunto imagem de f é formado por todos os elementos do contradomínio que possuem elementos correspondentes no domínio de f.

Neste momento já estamos preparados para resolver alguns exercícios sobre o assunto. Então, vem comigo aqui! 

Seja o conjunto A = {1, 2, 3}, o conjunto B = {2, 3, 4, 5}, e a função f: A → B definida por f (x) = x + 1, encontre o domínio, o contradomínio e conjunto imagem de f.

O fato da função f ser definida como f: A→B, nos mostra que A é o conjunto de partida e que B é o conjunto de chegada. Assim, já podemos definir o domínio e o contradomínio de f.

D = A

D = {1, 2, 3}

CD = B

CD = {2, 3, 4, 5}

Para obtermos o conjunto imagem, precisamos aplicar todos os elementos do domínio na função f, que como diz o enunciado, é definida por f (x) = x + 1. Assim, nós faremos a substituição do valor de x pelos elementos 1, 2, e 3. Os resultados dessas operações, formarão o conjunto que estamos buscando. Acompanhem os cálculos abaixo:

Reparem que a imagem do elemento 1 do domínio de f, é o elemento 2, do contradomínio de f. Já os elementos 2 e 3 do domínio de f, possuem como imagem, respectivamente, os elementos 3 e 4, do contradomínio de f. Isso nos mostra que o conjunto imagem de f, é formado pelos elementos 2, 3 e 4.

Im ( f )  = {2, 3, 4}

Em forma de diagrama, podemos representar os conjuntos da seguinte maneira:

Analisando o diagrama acima, podemos perceber com mais clareza que o elemento 5, do contradomínio, não corresponde a elemento algum do domínio de f. Por isso, como abordamos anteriormente, o elemento 5 não faz parte do conjunto imagem de f, muito embora, f continue sendo uma função de A em B, porque todos os elementos de A, possuem elementos correspondentes em B.

Bom, como pudemos perceber no exemplo acima, geralmente as funções são definidas por fórmulas matemáticas. Muitas vezes também, o domínio e o contradomínio de uma função não são conjuntos finitos, e podem ser apresentados por conjuntos numéricos, tais como o conjunto dos números reais, dos números naturais ou inteiros, e por aí vai. Os próximos exemplos apresentam contextos como esse. Olhem só como podemos resolvê-los:

Dada uma função f: A → ℝ, tal que f (x) = 5x – 4, e A = {-2, 0, 3}. Determinar o conjunto imagem.

Novamente, como o enunciado nos informa que f é uma função que parte de A, e que vai até o conjunto dos números reais (f: A → ℝ), nós podemos concluir que o domínio de f é o conjunto A, e que o contradomínio de f, é o conjunto dos números reais.

D = A

D = {-2, 0, 3}

 CD = ℝ

Para encontrarmos o conjunto imagem questionado no enunciado, basta substituirmos os elementos do conjunto A, no lugar do x, da função f definida por f (x) = 5x – 4.

Assim, podemos definir com toda a certeza, que – 14 é a imagem de –2, da mesma forma que –4 e 11 são as imagens de 0 e 3, respectivamente. Bom, os elementos –14, –4 e 11 são números reais, não é mesmo? Por isso, podemos dizer que eles formam o conjunto imagem de f, e que também pertencem ao contradomínio de f, como prevemos anteriormente ao afirmarmos que o conjunto imagem de uma função é sempre subconjunto do contradomínio desta mesma função.

Im ( f )  = {–14, –4, 11}

Determine f (7),  f (2), e f (√30) de tal forma que f: ℝ → ℝ, seja definida como: 

Exercícios que envolvem sentenças são sempre muito interessantes! Primeiramente, vamos entender o que o enunciado está nos questionando. Vejam que se fala em f (7),  f (2), e f (√30). Isso quer dizer que devemos procurar pelas imagens dos elementos 7, 2 e √30, que pertencem ao domínio da função f, formado por todos os números reais.

Contudo, diferente do que vimos até então, nesse caso a função f é definida de duas maneiras diferentes: dependendo do valor que x irá assumir, ela será dada como f (x) = 2x + 3, ou então como f (x) = x² . Portanto, nosso trabalho agora, é analisar cada elemento cuja imagem estamos buscando, e verificar se esse elemento é maior, menor ou igual a 5. Em cada caso, usaremos a função apropriada.

7 > 5, então:

f (7) = x² = 7² = 49

2 < 5, então:

f (2) = 2x + 3 = 2∙(2) + 3 = 7

Pois é pessoal, a dúvida aqui é como saber se o valor do número irracional √30 é maior ou menor 5. Sempre que isso acontecer, é só lembrar da raiz quadrada exata mais próxima. Por exemplo, se nós pensarmos um pouquinho, veremos que o número mais próximo a 30 que possui raiz quadrada exata é o 25. Bom, se a raiz quadrada de 25 é 5, e 30 é um número maior que 25, então certamente a raiz quadrada de 30 também é um número maior que 5. Assim, já sabemos qual função deve ser utilizada:

√30 > 5, então:

f (√30) = (√30)² = | 30 | = 30

É com essa dica que encerramos o texto de hoje! Espero que vocês tenham gostado do assunto e que tenham entendido, com clareza, como definir o domínio, o contradomínio e a imagem de qualquer função. Mais do que nunca, é imprescindível dar uma olhada no vídeo que deixo em anexo. São resolvidos lá, mais uma serie de exercícios sobre o assunto, cada um com sua particularidade, o que pode lhes ajudar muito a desenvolver o raciocínio matemático!

Um abração e até mais!