INTRODUÇÃO À FUNÇÃO AFIM

Olá pessoal, como vão?

Finalmente é chegado o dia em que voltaremos a estudar a função afim, que também é muito conhecida como função polinomial do 1º grau! Vocês já devem ter ouvido falar, que essa função apresenta um comportamento linear, ou ainda, que seu gráfico é uma reta, mas hoje, nós vamos focar especificamente nos conceitos iniciais da função afim: abordaremos a sua forma geral, encontraremos os seus coeficientes e faremos vários exercícios. Conhecer direitinho a base deste conteúdo, e aplicar o conhecimento a diversas questões, pode lhes ajudar a garantir um grande número de acertos nas provas de matemática do ENEM e dos vestibulares. Não tenham dúvida de que a função do primeiro grau gosta muito de aparecer nestas ocasiões!

O fato é que existe um lugar em que vocês podem conhecer a base de qualquer conteúdo da matemática do ensino médio, e ele está bem pertinho de vocês: é a plataforma do Professor Ferretto! Lá vocês encontram videoaulas que tratam da matemática mais simples a mais complexa, exercícios resolvidos em vídeo, simulados semanais, plano de estudos personalizado, e até mesmo aulas de física! Acessem o site para conferir as vantagens do curso, e aproveitem para tirar suas dúvidas e dar uma olhada nos depoimentos!

Certo pessoal!? Então, vamos começar!

Uma função f : ℝ → ℝ chama-se função afim quando existem dois números reais a e b tal que

f (x) = ax + b, para todo x ∈ ℝ.

Observem com muita atenção a definição e o quadro acima. Essa é a fórmula que representa uma função afim, e por isso, ela irá nos acompanhar sempre daqui pra frente! É claro que toda e qualquer função pode ser representada por f (x) e por y. Assim, a expressão y = ax + b também pode ser chamada de função do 1º grau.

Mas vocês sabem por que a função afim também é chamada de função polinomial do primeiro grau? Tem tudo a ver com o grau do polinômio ax + b, expresso pelo expoente da variável x. Olhando novamente para a fórmula da função afim, não enxergamos qualquer expoente na variável x, mas lembrem que quando o expoente de um termo, ou de um valor numérico não aparece, significa que ele vale 1.

Até aí tudo tranquilo, não é? Bom, na definição também foi dito que sob certas condições, uma função f : ℝ → ℝ  é uma função afim. Essa expressão parece complicada, mas na verdade ela só está querendo nos mostrar que o domínio ou conjunto de partida, e que o contradomínio ou conjunto de chegada da função afim, é conjunto dos números reais. Isso significa que números positivos, negativos, frações, dízimas periódicas, raízes não exatas e todo e qualquer número real pode fazer parte do domínio e do contradomínio desta função, sem que haja qualquer restrição.

Agora vamos analisar mais um detalhe extremamente interessante. A fórmula da função afim “f (x) = ax + b” é composta por uma soma de 2 termos: ax e b. Um termo carrega consigo a variável x, mas o outro não possui qualquer variável. a e b são números reais chamados de coeficientes, e enquanto a é dependente da variável x, b não possui qualquer relação com ela. É por isso que conhecemos b como termo independente da função afim.

Aí eu lhes pergunto: vocês entenderam exatamente o que significa depender ou não da variável x? Vou explicar melhor essa ideia. x é dita como variável, e algo que varia, muda, se altera, se transforma. Então, a é dito dependente de x porque a medida que os valores de x vão mudando, os valores do termo ax serão diferentes, muito embora o valor de a seja sempre o mesmo. Já com o termo b isso não acontece: seu valor será mantido, não importa qual seja o valor de x e se ele está variando ou não!

Vamos comprovar essas informações através de um exemplo. Observem a imagem abaixo:

Podemos perceber através da imagem, que na função afim do exemplo, a = 6 e b = 2. Então, na medida em que o valor de x vai mudando, o valor do termo ax também sofre modificações. Mas o mesmo não ocorre para o termo b, que manteve o seu valor numérico 2, enquanto a variável x trocava de valor.

Pessoal, sabendo que o coeficiente a é quem acompanha a variável x, é fato que ele jamais pode ser zero. x é quem dá o grau ao polinômio ax + b, e se o valor de a for zero, então o termo ax irá deixar de existir. Restaria apenas a constante b, que sozinha, não se caracteriza como uma função do primeiro grau.

Interessante, não é mesmo? Com tudo isso entendido, é hora de aplicarmos a ideia a alguns exemplos. Aí é importante lembrar do seguinte: todo valor numérico que é acompanhado pela variável x representa o coeficiente a, enquanto todo valor numérico que não é acompanhado de nenhuma variável, representa o coeficiente b.

1. f (x) = 3x + 1

f (x) = 3x + 1

a = 3 e b = 1

2. f (x) = 3 – 2x

f (x) = 3 – 2x

a = –2 e b = 3

Nesta questão é importante observarmos que não importa se a ordem dos termos for alterada. a segue sendo o valor numérico que acompanha x e b segue sendo o valor “sozinho” ou independente. Além disso, reparem que surgiu um sinal negativo na expressão. Esse sinal acompanha o coeficiente a.

3. f (x) = ⅔ x – 5

f (x) = ⅔ x – 5

a = ⅔ e b = –5

Vejam que nesse caso, um sinal negativo também surgiu na expressão. Agora ele acompanha o coeficiente b.

4. f (x) = 5x

f (x) = 5x

a = 5 e b = 0

Nós acabamos de ver no texto, que o coeficiente a jamais pode ser zero. Contudo, se o coeficiente b for zero, não há problema algum. Por isso, fiquem atentos: se houver somente um termo na função do primeiro grau, ele deve, necessariamente, ser aquele que contém a variável x, e então o valor numérico de b será zero.

Bom, os exemplos que acabamos de resolver são uma aplicação teórica da função do primeiro grau. Mas o mais interessante é que existem inúmeras aplicações práticas do assunto, ou seja, situações do cotidiano em que podemos aplicar a ideia expressa pela fórmula da função afim. Essa fórmula é dada por um valor fixo, constante ou independente, que é o coeficiente b, e por um valor variável, o termo ax. Então, quando uma certa situação apresentar uma condição fixa que se soma a uma condição variável, significa que podemos utilizar a função do 1º grau para resolvê-la. Entenderam? Não? Vamos resolver um exercício para tornar tudo mais claro. Vem comigo aqui!

João pegou um táxi, que cobra R$ 4,50 pela bandeirada e R$ 1,30 por quilômetro rodado. Ao percorrer 25 km, quanto João pagou ao motorista?

Pessoal, ao utilizarmos um serviço de táxi, nós não pagamos um valor total fixo por ele. O valor pago ao motorista, vai depender principalmente da distância que percorremos. É cobrado então, um certo valor por quilômetro rodado que se soma a uma taxa fixa, cobrada simplesmente pelo uso do táxi, a chamada bandeirada.

Vejam que esse contexto já nos encaminha para uma situação onde uma condição fixa se soma a uma condição variável. Mas como isso se transforma em uma função do 1º grau? É o que nós vamos aprender agora.

O primeiro passo é observar quem pode variar dentro do contexto, e então saberemos quem representa a variável x. Bom, quando utilizamos um táxi, podemos andar 1 km, 2, 3, 50 km, e isso só vai depender de onde desejamos ir naquele momento. Mas nem sempre vamos ao mesmo lugar. Por isso, nada é mais variável nesse contexto que a distância percorrida pelo táxi.

x → distância percorrida

O valor da bandeirada, R$ 4,50, não depende em nenhum momento da distância percorrida pelo táxi. A distância percorrida pelo táxi é a variável  x, e sabemos que o termo b, na função afim, é independente da variável x. Portanto podemos afirmar que:

b → 4,50

Já o valor por quilômetro rodado, como o próprio nome sugere, depende da distância percorrida pelo táxi, que representa a variável  x. Isso só pode significar que:

a → 1,30

Tendo consciência disso, é fato que podemos montar a expressão do primeiro grau que representa a situação proposta pelo problema. Olhem só como fica:

f (x) = ax + b

f (x) = 1,30∙x + 4,50

Assim, se a questão nos pede quanto João pagou ao motorista ao percorrer 25 km, e a distância percorrida representa a variável x, então, para obtermos a resposta, basta substituirmos o valor de x por 25:

f (x) = 1,30∙x + 4,50

f (25) = 1,30∙25 + 4,50

f (25) = 32,50 + 4,50

f (25) = 37,00

Gostaram do exercício? Existem inúmeros contextos semelhantes a esse! Se vocês quiserem saber mais, é só dar uma olhadinha no vídeo que deixo em anexo, porque precisamos encerrar o texto por aqui! Espero que vocês tenham entendido todos os conceitos que foram abordados, e que possam utilizar essas informações no momento oportuno.

Um abração a todos! Tenham sempre ótimos estudos em matemática!