INEQUAÇÕES DO 2º GRAU

Olá pessoal, tudo bem por aí?

As inequações do segundo grau podem ser definidas como relações de desigualdade que envolvem expressões matemáticas de grau 2. Embora pareçam assustadoras, a verdade é que essas inequações podem ser resolvidas facilmente, desde que se saiba realizar o estudo do sinal da função quadrática envolvida, e isso nós já aprendemos a fazer aqui no blog! Inclusive, posso provar para vocês, que resolver uma inequação do 2º grau é ainda mais simples do que realizar todo o estudo do sinal de uma função em si! Portanto, não há razão para se assustar! Depois de ler esse texto, eu garanto, vocês vão arrasar nas provas do ENEM e dos vestibulares!

Falando em ENEM e vestibulares, vocês sabiam que a plataforma do Professor Ferretto disponibiliza alguns planos de estudo voltados para a prova que vocês pretendem realizar? Sim, é isso mesmo! O objetivo do Ferretto é garantir o real aprendizado do aluno, seja através das videoaulas, dos exercícios resolvidos em vídeo, dos simulados, ou das demais funcionalidades da plataforma! E o melhor, vocês acompanham tudo quando e onde desejarem, afinal o curso é 100% online! Querem aprender a matemática do ensino médio de verdade? Então acessem o site para saber como isso é possível!

Bom, é verdade que nós já estudamos no texto Introdução à Inequação do 1º Grau, qual é a principal diferença entre uma equação e uma inequação, não é mesmo? Trazendo a ideia para cá, podemos dizer que as equações do 2º grau são relações de igualdade, e ao resolvê-las, buscamos os únicos dois valores de x que tornam a sentença verdadeira, ou seja, as raízes da equação.

Agora, o que dizer dessas belezuras que se encontram na imagem abaixo?

Comparando essas expressões com aquela da imagem anterior, não há dúvida de que apenas uma coisa mudou: não, não é grau da expressão, afinal o termo x² ainda está aí, mas sim o seu sinal! As inequações do 2º grau são relações de desigualdade, e por isso podem conter os sinais maior (>), menor (<), maior ou igual (≥) e menor ou igual (≤). Ao resolvê-las, buscamos uma série de valores de x que tornam a sentença verdadeira, e que costumam ser representados em forma de conjunto solução.

Até aqui está tudo maravilhoso, não é mesmo? Mas aí fica a pergunta: como obter essa série de valores x que tornam a sentença verdadeira, ou seja, como é possível resolver uma inequação do segundo grau? A resposta, é claro, tem relação com o estudo do sinal da função quadrática!

Pessoal, vocês já experimentaram isolar a incógnita x de uma expressão do segundo grau completa (ax² + bx + c)? Não tem como, certo? Mesmo quando as expressões do 2º grau são incompletas, e até seria possível isolar x, se o assunto for inequações, NÃO se deixem cair nessa tentação: isolar x altera a expressão inicial e portanto é uma péssima ideia, porque não dá certo. NÃO façam isso de jeito nenhum!

Depois desse aviso ameaçador, é melhor partirmos logo para a maneira correta de resolver as inequações do 2º grau. Já que não dá para isolar a incógnita x, o jeito é transformar a expressão do segundo grau em uma função. Feito isso, basta estudar o sinal dessa função, mas agora, com foco naquilo que o sinal de desigualdade sugere, olhem só:

Vocês perceberam que é o sinal de desigualdade que vai mandar em tudo que faremos para resolver as inequações? Por isso, é nele que devemos prestar bastante atenção! Querem ver como é verdade? Vamos resolver alguns exercícios e tudo ficará mais claro!

Resolva as seguintes inequações:

a. x² – 2x – 8 < 0

Observem que para resolver a inequação acima, nós deveremos encontrar a série de valores de x que tornam a expressão x² – 2x – 8, menor do que zero. Por isso, vamos transformar essa expressão em uma função f(x), e estudar seu sinal a fim de determinar para quais valores de x a função é negativa!

f(x) = x² – 2x – 8

a  = 1

b = –2

c = –8

Reparem no valor numérico do coeficiente a: ele é positivo. Isso nos mostra que a concavidade da parábola formada será voltada para cima! Agora vamos ao cálculo do discriminante da função:

Δ = b² – 4ac

Δ = (–2)² – 4 ∙ 1 ∙ (– 8)   

Δ = 4 + 32

Δ = 36 → Δ > 0

Quando o discriminante de uma função do 2º grau resulta em um valor maior que zero, significa que esta função possui duas raízes reais e distintas (x₁ ≠ x₂), e que a sua parábola cortará o eixo x em dois pontos diferentes! Vamos calcular os valores numéricos dessas raízes através da fórmula de Bhaskara, e em seguida, poderemos esboçar o gráfico da função f(x).

Observando o esboço do gráfico de f(x), vocês tem ideia de que valores x vão entrar na solução da inequação? Lembrem, nós estamos estudando o sinal de f(x) para determinar para quais valores de x a função é negativa, tudo por causa do sinal menor (<) que está presente na inequação. Assim, é fato que os únicos valores de x que nos interessam são aqueles que se situam entre –2 e 4, sem incluir o –2 e o 4 (bolinha aberta), porque vejam, essa é a única região em que a função é negativa, já que seu gráfico se encontra abaixo do eixo x!

Assim, para quaisquer valores reais de x que estiverem entre –2 e 4, a função f(x) será negativa, ou menor que zero. Em forma de conjunto solução, temos:

S = {x ∈ ℝ | –2 < x < 4 }

Antes de partirmos para os próximos exemplos, aqui vai um recado muito valioso: caso vocês tenham ficado perdidos na resolução desse primeiro exemplo, não hesitem em dar uma olhada nos textos Estudo do sinal da função quadrática e Aplicando o estudo do sinal de uma função do 2º grau. Eles explicam tudo sobre a teoria e a prática deste assunto tão importante para as inequações, por isso estamos sendo mais breves aqui!

Vamos continuar….

b. –x² + 9 ≥ 0

Para resolver a inequação acima, vejam que nós deveremos encontrar a série de valores de x que tornam a expressão –x² + 9, maior ou igual zero. Por isso, também vamos transformá-la em uma função f(x), e estudaremos seu sinal a fim de determinar para quais valores de x a função é positiva ou igual a zero!

f(x) = –x² + 9

a  = –1

b = 0

c = 9

Nesse caso, o valor numérico do coeficiente a é negativo, e portanto, a concavidade da parábola formada será voltada para baixo! Mas podemos descrever aqui mais um fato curioso: o coeficiente b desta função f(x) é de valor zero! Bom, nós já estudamos no texto Equações do 2º grau incompletas, que expressões do segundo grau cujo coeficiente b vale zero, costumam ter duas raízes distintas, de mesmo módulo mas de sinais opostos. Também estudamos por lá, que calcular os valores numéricos dessas raízes é muito simples, basta igualarmos a expressão a zero e isolarmos a incógnita x.

Conhecer as características de uma função do 2º grau incompleta nos permite esboçar seu gráfico pulando o cálculo do discriminante da função, que certamente resultaria em um valor maior que zero, e também o cálculo da fórmula de Bhaskara, já que foi possível encontrar as raízes de outra maneira, mas não nos permitirá pular o estudo do sinal da função! No cálculo nós até igualamos a expressão a zero, mas lembrem, não é possível isolar a incógnita x de uma expressão do 2º grau que possuir um sinal de desigualdade!

A partir desses dados, já podemos esboçar o gráfico da função f(x):

E agora, quais serão os valores x que vão entrar na solução da inequação? Lembrem, nós estamos estudando o sinal de f(x) para determinar para quais valores de x a função é positiva ou igual a zero, porque havia o sinal maior ou igual (≥) na inequação. Portanto, nesse caso, os valores de x que nos interessam são aqueles que se situam entre –3 e 3, já que nessa região o gráfico da função se encontra acima do eixo x, o que tona f(x) é positiva. Mas é claro que também não podemos esquecer de incluir os próprios valores –3 e 3 na solução (bolinha fechada), porque nesses pontos o gráfico corta o eixo x, o que faz com que f(x) seja igual a zero! Quando os sinais maior ou igual (≥) e menor ou igual (≤) estão presentes na inequação, podemos afirmar que as raízes farão parte da sua solução!

S = {x ∈ ℝ | –3 ≤ x ≤ 3 }

c. 2x² – 2x + 5 > 0

Para resolver a inequação deste item, nós deveremos encontrar a série de valores de x que tornam a expressão 2x² – 2x + 5, maior do que zero. Por isso, é claro, vamos transformar essa expressão em uma função f(x), e estudar seu sinal afim de determinar para quais valores de x a função é positiva!

f(x) = 2x² – 2x + 5

a  = 2

b = –2

c = 5

O coeficiente a desta função é positivo, portanto teremos mais um caso em que a concavidade da parábola formada será voltada para cima! Agora, olhem só o que irá acontecer no cálculo do discriminante da função:

Δ = b² – 4ac

Δ = (–2)² – 4 ∙ 2 ∙ 5   

Δ = 4 – 40

Δ = –36 → Δ < 0

Mas que beleza! O discriminante da função resultou em um valor negativo! Isso significa que esta função possui duas raízes complexas (x₁ e x₂ ∉ ℝ ), e que a sua parábola não irá nem mesmo tocar o eixo x! Se não temos raízes reais, não existem motivos para calcularmos seus valores, não é mesmo? Assim, partiremos logo para o esboço do gráfico da função f(x).

Observem que para qualquer valor real de x a função é positiva, já que a sua parábola se localiza completamente acima do eixo x. Mas nós demos sorte! Estamos procurando justamente os valores de x que tornam a função positiva ou maior que zero. Isso nos permite concluir que qualquer número real faz parte da solução desta inequação.

S = ℝ

d. –x² + 6x – 9 > 0

Neste último item, nós também deveremos encontrar a série de valores de x que tornam a expressão –x² + 6x – 9, maior do que zero. Novamente, vamos transformar essa expressão em uma função f(x), e estudar seu sinal afim de determinar para quais valores de x a função é positiva!

f(x) = –x² + 6x – 9

a  = –1

b = 6

c = –9

Sendo o coeficiente a da função um valor negativo, é fato que a concavidade da parábola formada será voltada para baixo! Hora de partirmos para o próximo passo, que é o cálculo do discriminante da função:

Δ = b² – 4ac

Δ = 6² – 4 ∙ (–1) ∙ (– 9)   

Δ = 36 – 36

Δ = 0

Quando o discriminante de uma função do 2º resulta em um valor igual a zero, significa que esta função possui duas raízes reais e iguais (x₁ = x₂). Graficamente, pode-se dizer que parábola tocará o eixo x em único ponto! Vamos calcular esse valor através da fórmula de Bhaskara, e em seguida, poderemos esboçar o gráfico da função f(x).

Vejam só que interessante: através do esboço do gráfico da função f(x), nós podemos perceber que existem valores x que tornam a função negativa, e também um único valor de x que torna a função igual a zero, que é a sua raiz, claro. Agora, onde estão os valores de x que estamos procurando, ou seja, aqueles que tornam a função positiva, já que o sinal presente nesta inequação era o sinal maior (>)? Pois é, não demos sorte dessa vez! Não há nem mesmo um único valor de x que torne a sentença verdadeira. Essa situação só pode ser representada pelo conjunto vazio.

S = {  } = ∅

Não se assustem pessoal, isso pode acontecer mesmo! E fatos inesperados como esse, tornam as inequações do 2º grau ainda mais fascinantes! Por mim, é verdade, poderíamos ficar aqui por horas a fio resolvendo mais uma série de exemplos, mas o fato é que o texto precisa terminar. Espero que vocês tenham gostado da abordagem, e que tenham entendido todos os conceitos direitinho, afim de aplicá-los com facilidade futuramente! Em anexo, temos aquele vídeo que complementa o conteúdo do texto! Deem uma olhada nele, porque lá eu resolvo mais alguns exercícios bem interessantes!

Bons estudos em matemática e até mais!