Área e volume da esfera: entenda as fórmulas e resolva exercícios!

A esfera é um sólido de revolução formado a partir da rotação de um semicírculo em torno de um eixo que contém o seu diâmetro. A área da sua superfície é dada por A = 4·π·R² e o seu volume por V = (4/3)·π·R³, sendo R a medida do raio.

Olá, pessoal! Tudo bem com vocês?

Neste texto, nós vamos aprender a encontrar a área e o volume de um sólido muito conhecido no estudo da geometria espacial: a esfera! A esfera é dita como um sólido de revolução, porque é obtida pela rotação de um plano, nesse caso um semicírculo, em torno do seu eixo. Conhecer essa definição e também as fórmulas da área e do volume da esfera certamente são os primeiros passos para gabaritar as questões do assunto nas provas do ENEM e dos vestibulares!

Assim, além das fórmulas, você vai encontrar por aqui uma tabela-resumo para consulta rápida, exercícios comentados de vestibulares reais e uma seção de perguntas frequentes para tirar as últimas dúvidas.

Beleza, pessoal? Dado o recado, é hora de iniciarmos os estudos. Vem comigo!

FÓRMULA DA ÁREA DA ESFERA

Dado um ponto O e um segmento de medida R. Chama-se esfera de centro O e raio R o conjunto de pontos do espaço cuja distância do centro é menor ou igual ao raio.

Dessa forma, é possível definir a área da superfície da esfera como o produto entre 4, o número irracional π e o raio R elevado ao quadrado.

O que pode ajudar a memorizar essa fórmula é a sua semelhança com a fórmula da área do círculo, πR². Podemos dizer, por exemplo, que a área da superfície esférica de raio R é igual a área de 4 círculos de mesmo raio R.

FÓRMULA DO VOLUME DA ESFERA

O volume da esfera pode ser calculado através do produto entre a fração 4/3, o número irracional π e a medida do raio R da esfera elevada ao cubo.

É claro que para chegar nessa fórmula houve um processo de dedução com base no volume de outros sólidos estudados na geometria espacial. Mas para resolver as questões do ENEM e dos vestibulares, acreditem, não é necessário conhecer essa dedução, apenas a fórmula em si — se quiser entender de onde ela vem, veja o box logo mais abaixo.

Querem ver como é verdade? Então, vamos aos famosos exercícios resolvidos. Mas antes, um resumo rápido das duas fórmulas para vocês salvarem:

TABELA-RESUMO: FÓRMULAS DE ÁREA E VOLUME DA ESFERA

Grandeza	Fórmula	Significado das variáveis
Área da superfície (A)	A = 4 · π · R²	R = raio da esfera
Volume (V)	V = (4/3) · π · R³	R = raio da esfera

Vale reforçar: como a área depende de R² e o volume de R³, os dois crescem em ritmos diferentes quando o raio aumenta. Se R dobra, por exemplo, a área multiplica por 4 (2²) e o volume multiplica por 8 (2³) — uma relação de escala que costuma aparecer em questões de vestibular.

🎬 Vídeo: [ESPAÇO RESERVADO — nenhuma videoaula específica sobre área e volume da esfera foi localizada no canal do Professor Ferretto. Inserir aqui o embed do YouTube (colar a URL em uma linha própria), no mesmo padrão usado nos demais artigos do blog.]

DE ONDE VÊM ESSAS FÓRMULAS?

Você não precisa decorar essa demonstração para resolver as questões do ENEM, mas entender de onde vem a fórmula ajuda a fixá-la de vez. Uma forma clássica de visualizar o volume da esfera é comparar um hemisfério (metade da esfera) com um cilindro de mesmo raio e mesma altura, do qual foi retirado um cone. Em qualquer altura, a área da fatia do hemisfério é igual à área da fatia do cilindro menos a da fatia do cone e, portanto, os dois sólidos têm o mesmo volume. É dessa comparação, conhecida como Princípio de Cavalieri, que se chega à fórmula V = (4/3)·π·R³.

Curiosidade para quem gosta de aprofundar: a fórmula da área é exatamente a derivada da fórmula do volume em relação a R — uma prova de que as duas fórmulas estão profundamente conectadas.

EXERCÍCIOS RESOLVIDOS SOBRE ÁREA E VOLUME DA ESFERA

Chegou a hora de colocar as fórmulas em prática. Confira dois exercícios comentados que já caíram em vestibulares reais:

Exercício 1 — já caiu na UEG!

(UEG) Suponha que haja laranjas no formato de uma esfera com 6cm de diâmetro e que a quantidade de suco que se obtém ao espremer cada laranja é 2/3 de seu volume, sendo o volume dado em litros. Nessas condições, se quiser obter 1 litro de suco de laranja, deve-se espremer no mínimo (use π = 3,14),

a. 13 laranjas.

b. 14 laranjas.

c. 15 laranjas.

d. 16 laranjas.

A primeira frase do enunciado deste exercício nos mostra que a quantidade de suco gerada ao espremer cada laranja tem relação com o volume da laranja, que é uma esfera. Assim, sabendo que o diâmetro da esfera é igual a 6cm, temos implicitamente o conhecimento do raio da esfera, que é 3cm (r = d/2). Essa informação nos permite calcular o volume da laranja em questão:

Conhecendo o volume de cada laranja, podemos calcular a quantidade de suco gerada:

Agora, observem um detalhe bem importante! Nós encontramos a quantidade de suco gerada por cada laranja em cm³. Contudo, o enunciado deixa claro que o volume é dado em litros. Portanto, antes de seguirmos, é necessário pensar na seguinte conversão:

1l —– 1000 cm³

Depois de realizar a conversão, podemos encontrar o número de laranjas necessário para gerar um litro de suco dividindo a quantidade de suco que deve ser obtida (1l ou 1000 cm³) pela quantidade de suco gerada por cada laranja (24π cm³). Aí, dois caminhos são válidos: obter o volume gerado por cada laranja em litros, ou utilizar como quantidade total o valor 1000 cm³. A fim de fugir dos números decimais e não trabalhar com vírgulas, utilizaremos a segunda opção (veja mais conversões de capacidade em Sistema Métrico Decimal).

1000 ÷ 24π = 13,26… laranjas

Interpretando o resultado: por que são necessárias 14 laranjas?

Mas que resposta engraçada, não é mesmo? Imagino que seja possível espremer 13 laranjas, mas e as 0,26 restantes? Nesses casos, pessoal, é preciso refletir sobre o contexto da questão. Se o resultado do nosso raciocínio mostrou que são necessárias 13,26… laranjas para gerar 1l ou 1000 cm³ de suco, então é fato que 13 laranjas vão gerar um pouco menos de 1l de suco. Dessa forma, para garantir a quantidade de suco pedida, deve-se espremer 14 laranjas.

Exercício 2 — já caiu na Udesc!

(Udesc) Uma bola esférica é composta por 24 faixas iguais, como indica a figura.

Sabendo que o volume da bola é 2304π cm³ então a área da superfície de cada faixa é de:

a. 20π cm²

b. 24π cm²

c. 28π cm²

d. 27π cm²

e. 25π cm²

Que questão interessante, não é mesmo? Vejam que no seu enunciado se fala sobre área e volume da esfera. Perfeito, afinal, estamos estudando essas duas fórmulas no texto de hoje!

Bom, nós conhecemos o volume da bola, que é 2304π cm³. Essa informação nos permite obter o raio da esfera, dessa forma:

Sabendo que o raio da esfera mede 12 cm, podemos encontrar a área total da superfície da esfera, através da fórmula:

A = 4·π·R²

A = 4·π·12²

A = 576π cm²

Agora que a área total da superfície da bola esférica é conhecida, devemos nos atentar ao detalhe de que ela é composta por 24 faixas iguais e que o exercício pede justamente a área de cada faixa. Sem problema algum, afinal, se as 24 faixas são iguais, dividindo a área da superfície total por 24, temos a área de cada faixa.

A(faixa) = 576π ÷ 24 = 24π cm²

PERGUNTAS FREQUENTES

Qual é a fórmula da área da esfera?

A área da superfície de uma esfera é dada por A = 4·π·R², em que R é a medida do raio.

Qual é a fórmula do volume da esfera?

O volume de uma esfera é dado por V = (4/3)·π·R³, em que R é a medida do raio.

Como encontrar o raio da esfera a partir do volume?

Basta isolar R na fórmula do volume: R³ = 3V/(4π) e, em seguida, calcular a raiz cúbica do resultado, como mostrado no Exercício 2 acima.

O que é um sólido de revolução?

É um sólido gerado pela rotação de uma figura plana em torno de um eixo. No caso da esfera, a figura girada é um semicírculo e o eixo contém o diâmetro.

Área e volume da esfera são calculados da mesma forma?

Não. A área da superfície usa o raio ao quadrado (R²), pois mede uma superfície (duas dimensões). O volume usa o raio ao cubo (R³), pois mede um espaço tridimensional.

O que é uma calota esférica?

É a porção da esfera obtida quando ela é cortada por um plano. É um conteúdo mais avançado de geometria espacial, que pode aparecer em vestibulares mais concorridos.

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Legal, não é, pessoal? Vejam que não há mistério quanto à utilização das fórmulas da área e do volume da esfera. Assim, espero que o texto de hoje tenha sido muito proveitoso para os estudos de vocês! Não pare por aqui, continue seus estudos com os: Cursos Gratuitos do Professor Ferretto

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E se você quer estudar de forma estratégica, descubra exatamente quais assuntos de geometria espacial mais caem no Enem com o ENEM’s Anatomy — Análise de Incidência dos Conteúdos.

Espero vocês no próximo post! Um abraço a todos e até mais!