Retângulo: propriedades, área, perímetro e diagonal desta figura

O retângulo é um quadrilátero cujos ângulos internos são todos iguais e medem 90º. Também é possível dizer que todo retângulo é um paralelogramo, apesar do contrário não ser válido.

Olá, pessoal! Tudo certo?

É só olhar a nossa volta para percebermos quantos retângulos estão espalhados pelo mundo: quadros, tapetes, terrenos, portas, monitores, e tantas outras coisas possuem o formato desse quadrilátero. Por isso, nós vamos estudá-lo hoje!

Vamos conhecer as propriedades do retângulo, e também como calcular a área, o perímetro e a diagonal dessa figura tão importante dentro do estudo da geometria plana!

Fiquem atentos ao texto, afinal, o retângulo é uma das figuras geométricas mais cobradas nos vestibulares e nas provas do ENEM!

Certo, pessoal? Então, posso lhes apresentar a ilustre figura que abrilhantará nosso estudo de hoje: o retângulo!

Todo retângulo é considerado um paralelogramo, embora não possamos dizer que todo paralelogramo é um retângulo.

Por isso, o retângulo compartilha das propriedades dos paralelogramos em geral, o que nos motivará a compará-lo com a forma de um paralelogramo o tempo todo.

Mas é claro que não estaríamos aqui, se não existissem algumas características pertencentes exclusivamente ao retângulo. É hora de estudar cada uma delas. Venham comigo!

Propriedades do Retângulo

As propriedades das figuras geométricas têm por objetivo descrever suas características quanto a medida de seus lados, diagonais, e de seus ângulos internos.

É claro que não teria por que ser diferente com o retângulo. Mas como todo retângulo é um paralelogramo, e vamos comparar muito estes dois conceitos, sugiro que vocês deem uma olhada no texto que aborda o Paralelogramo caso ainda não o tenham visto. Depois, basta seguir comigo!

Lados opostos paralelos e congruentes

Essa propriedade nos mostra que os dois lados opostos de um retângulo são sempre paralelos e de mesma medida, como nos paralelogramos em geral.

Diagonais se cruzam nos pontos médios

As diagonais dos retângulos, e de qualquer paralelogramo, se encontram exatamente em seus respectivos pontos médios. Mas as diagonais do retângulo, exclusivamente, possuem uma segunda característica bem importante:

As diagonais do retângulo são congruentes.

Isso significa que as duas diagonais do retângulo possuem o mesmo comprimento.

Vale destacar que essa é uma marca registrada do retângulo: no losango, por exemplo, as diagonais também se cruzam nos pontos médios, mas não têm necessariamente o mesmo comprimento — em compensação, elas se cruzam sempre formando ângulos de 90° entre si, o que não é uma exigência para as diagonais do retângulo.

Ângulos opostos congruentes

Os dois ângulos opostos de qualquer paralelogramo são sempre iguais, ou de mesmo valor. Mas quando se fala exclusivamente do retângulo, isso fica ainda mais evidente, devido ao seguinte fato:

Todos os quatro ângulos do retângulo são retos.

Ou seja, os quatro ângulos internos do retângulo são iguais, e medem 90º.

Ângulos consecutivos suplementares

Como vimos no texto que aborda o Paralelogramo, dois ângulos são suplementares se a soma de seus valores resultar em 180º. Assim, simplesmente não haveria como o retângulo não satisfazer essa propriedade!

Todos os ângulos internos de um retângulo são iguais e valem 90º, de forma que se escolhermos quaisquer dois ângulos consecutivos e efetuarmos a soma de seus valores, claramente chegaremos a 180º.

90º + 90º = 180º

Tranquilo não é, pessoal? Nos itens seguintes, estudaremos juntos como obter a área, o perímetro e a medida da diagonal de um retângulo. Vamos lá!

E antes de seguirmos, um adendo interessante: quando um retângulo possui também os quatro lados congruentes entre si, ele ganha um nome ainda mais específico dentro da geometria plana — o quadrado!

Área do Retângulo

Para calcular a medida da superfície de um retângulo, basta utilizarmos a conhecida fórmula:

A área de qualquer paralelogramo pode ser calculada através do produto entre a medida de sua base, b, e a medida de sua altura, h.

Contudo, quando se fala exclusivamente do retângulo, obtemos uma vantagem em relação aos paralelogramos em geral.

No retângulo, pode-se dizer que a medida de um de seus lados é o valor da base, e que a medida do lado consecutivo a base é o valor da altura. Lembrem, isso não acontece em todos os paralelogramos!

Assim, também podemos definir a fórmula da área do retângulo como sendo o produto entre as medidas de seus dois lados consecutivos.

Incrível, não é? Visto isso, podemos seguir ao próximo item do texto, em que falaremos sobre o perímetro de um retângulo. Venham comigo!

Perímetro do Retângulo

Agora que já sabemos calcular a área do retângulo, chegou a hora de conhecermos outra medida fundamental dessa figura: o perímetro.

Assim como em qualquer outro polígono, o perímetro do retângulo nada mais é do que a soma das medidas de todos os seus lados.

Como vimos na primeira propriedade estudada neste texto, os lados opostos do retângulo são sempre congruentes.

Dessa forma, se um retângulo possui base b e altura h, ele terá dois lados medindo b e outros dois medindo h. Logo, para encontrar o seu perímetro, basta somar essas quatro medidas:

P = b + b + h + h

Ou, de forma simplificada:

P = 2b + 2h

Por conseguinte, também é possível escrever essa mesma fórmula colocando o número 2 em evidência:

P = 2 · (b + h)

Onde P representa o perímetro, b a base e h a altura do retângulo.

Vamos a um exemplo rápido para fixar o conceito? Imagine um retângulo cuja base mede 7 cm e cuja altura mede 3 cm. Assim, o seu perímetro será:

P = 2 · (7 + 3)

P = 2 · 10

P = 20 cm

Viram como é simples? Basta somar a base com a altura e multiplicar o resultado por 2.

Guardem bem essa fórmula, pois ela costuma aparecer em questões do ENEM e dos vestibulares que envolvem terrenos, cercas e contornos de figuras retangulares.

Fiquem atentos: assim como a base e a altura, o perímetro é medido em unidades de comprimento (cm, m, km…), nunca em unidades de área (cm², m²…). Essa troca é uma pegadinha comum nas provas!

Entendido? Então podemos seguir para a próxima medida importante do retângulo: a sua diagonal. Vamos lá!

Diagonal do Retângulo

Nós vimos no texto que trata dos Paralelogramos, que podíamos dividi-los em dois triângulos, tranquilamente. Mas lá, não havia qualquer definição sobre os tipos de triângulos formados e muito menos sobre seus tamanhos.

Contudo, ao traçarmos a diagonal d de um retângulo, podemos ter certeza de que estamos formando dois triângulos retângulos iguais.

E quando falamos em triângulo retângulo, logo nos vem à mente o famoso Teorema de Pitágoras! Vamos encontrar a fórmula da diagonal do retângulo através deste teorema.

Reparem que a medida da hipotenusa do triângulo retângulo é exatamente igual a medida da diagonal do retângulo.

Da mesma forma, as medidas dos catetos do triângulo são equivalentes as medidas da base e da altura do retângulo. Assim, chegamos a seguinte a fórmula:

Entendido? Então já podemos aplicar todo esse conhecimento! Caso vocês não conheçam, confira o Teorema de Pitágoras. Depois, é só voltar aqui para resolvermos juntos alguns exercícios. Vamos lá!

Exercícios Resolvidos sobre o Retângulo

Exercício 1

O retângulo ABCD representa um terreno retangular cuja largura é ⅗ do comprimento. A parte hachurada representa um jardim retangular cuja largura é também ⅗ do seu comprimento.

Qual é a razão entre a área do jardim e a área do terreno?

Começaremos esclarecendo direitinho cada informação que o enunciado nos dá. Vejam que se fala primeiramente em comprimento e largura do retângulo ABCD.

Para utilizar os conceitos que estamos aprendendo hoje, vamos adotar que o comprimento desse retângulo será a medida de sua base, e que a largura será a medida de sua altura.

Comprimento → b

Largura → h

A largura do terreno que esse retângulo representa, mede ⅗ do comprimento desse mesmo retângulo.

Essa informação nos permite montar uma primeira equação, já entendo comprimento e largura como base e altura, respectivamente.

Na prática, isso significa que a medida da altura do retângulo é um pouquinho menor que a medida de sua base. Mais precisamente, podemos dizer que medida da altura corresponde a 60% da medida da base, já que 3/5 = 0,6. Bom, agora vamos ao jardim do terreno, ou a parte hachurada. Se vocês observarem a imagem abaixo com atenção, perceberão que o comprimento, ou a base b₁ do retângulo hachurado tem exatamente a mesma medida que a altura h do retângulo ABCD.

Já em relação a altura h₁ do retângulo hachurado, tem-se, através do enunciado, que ela é equivalente a ⅗ do comprimento deste mesmo retângulo, b₁. Novamente, podemos montar uma equação que expressa essa relação:

Compreendendo a ideia de razão

Temos até então, duas equações importantes que relacionam as medidas das alturas de ambos os retângulos com as medidas das suas respectivas bases.

Mas na verdade, o exercício nos pede a razão entre a área do jardim, ou a área hachurada, e a área do terreno, ou a área do retângulo ABCD.

Vamos nomear cada um desses termos para seguirmos nosso raciocínio sem confusão.

Área do jardim → Área hachurada → A_j

Área do terreno → Área de ABCD → A_t

Uma razão nada mais é do que uma divisão entre dois valores. Então, o que estamos buscando aqui, é o resultado da divisão entre o valor de A_j e de A_t.

Nós não temos esses valores ainda, mas sabemos que tanto o jardim quanto o terreno possuem o formato de um retângulo.

Assim, é fato que as áreas do jardim e do terreno podem ser calculadas através do produto entre medida de seus lados:

At = b × h Aj = b1 × h1

Se nós voltarmos os olhos para as equações 1 e 2 que montamos mais acima, nós encontraremos as medidas da altura do terreno e da altura do jardim em função das respectivas medidas da base desses dois retângulos.

É hora de substituir esses valores nas fórmulas das áreas que acabamos de montar:

Certo, agora temos o valor de cada uma das áreas das figuras em questão. Contudo, esses valores ainda se encontram em função da medida das bases dos retângulos.

Não tem problema, afinal, ainda não exploramos um detalhe muito interessante que chegamos a comentar mais acima.

A base b{1} do retângulo hachurado tem exatamente a mesma medida que a altura *h* do retângulo total, o ABCD.

Assim, podemos afirmar com certeza que:

Encontrando a solução final para o problema…

Pronto, resolvemos o nosso problema com as incógnitas! Se nós substituirmos agora, o valor de b₁ na fórmula da área do jardim, teremos o valor das duas áreas apenas em função de b, a base do retângulo ABCD.

Estamos prontos para calcular a razão que o exercício nos pede. Acompanhem o desenvolvimento:

Entenderam tudo direitinho? Como vocês puderam observar, é muito importante que a gente desenhe a situação proposta no problema em exercícios de geometria.

Dessa maneira, é possível compreender os detalhes que o enunciado nos informa e aplicar algumas fórmulas para chegar à solução desejada com muito mais facilidade!

Exercício 2

Um terreno retangular tem 15 metros de comprimento e 8 metros de largura. O proprietário deseja cercar totalmente esse terreno e também deseja saber quantos metros quadrados de grama serão necessários para cobri-lo por completo. Calcule o perímetro e a área desse terreno.

Vamos começar organizando os dados que o enunciado nos oferece. Como já vimos, é comum associarmos o comprimento de um retângulo à medida de sua base, e a largura à medida de sua altura. Assim, temos:

b = 15 m

h = 8 m

Para descobrir quantos metros de cerca serão necessários, precisamos calcular o perímetro do terreno. Como acabamos de aprender, basta aplicarmos a fórmula:

P = 2 · (b + h)

P = 2 · (15 + 8)

P = 2 · 23

P = 46 m

Portanto, serão necessários 46 metros de cerca para contornar todo o terreno.

Agora, vamos até a área. Como se trata de um retângulo, basta multiplicarmos a medida da base pela medida da altura:

A = b · h

A = 15 · 8

A = 120 m²

Logo, serão necessários 120 metros quadrados de grama para cobrir totalmente esse terreno.

Percebam que, embora o perímetro e a área estejam relacionados às mesmas medidas de um retângulo, eles respondem a perguntas bem diferentes: um mede o contorno da figura, enquanto o outro mede a sua superfície.

Por isso, é fundamental sempre identificar exatamente o que o enunciado está pedindo antes de escolher a fórmula certa!

Fórmulas do Retângulo: Resumo

Para ajudar nos seus estudos, apresentamos a seguir as três fórmulas fundamentais do retângulo: área, perímetro e diagonal.

Elemento	Fórmula	Descrição
Área (A)	A = b · h	Produto entre a base e a altura
Perímetro (P)	P = 2 · (b + h)	Soma das medidas dos quatro lados
Diagonal (d)	d = √(b² + h²)	Hipotenusa do triângulo retângulo formado pela base e pela altura (Teorema de Pitágoras)

Legenda: b = base; h = altura.

 

Continue estudando os quadriláteros notáveis:

• Quadrado: propriedades e fórmulas
• Losango: propriedades, área e mais
• Paralelogramo: propriedades e área

E assim, é chegada a hora de finalizamos mais um texto! Espero que este estudo possa lhes ajudar a desenvolver ainda mais o raciocínio matemático!

Aproveite para continuar seus estudos com os Cursos Gratuitos do Professor Ferretto!

Agora, se você quer de fato turbinar sua jornada rumo à universidade, você precisa conhecer a Plataforma do Professor Ferretto!

Em anexo, deixo um vídeo que contém outros exercícios resolvidos. Não deixem de dar uma olhada nele, afinal, tudo que é apresentado lá complementa as informações deste texto!