Propriedades do módulo

Olá pessoal! Tudo bem com vocês?

Hoje daremos mais um passo importante rumo ao estudo da função modular: investigaremos todas as propriedades do módulo! O módulo é um assunto da matemática do ensino médio muito fascinante, porque apesar de parecer extremamente simples, pode causar aquela dúvida quando determinadas sentenças são analisadas.

Aí está a importância de estudarmos as suas propriedades, afinal, conhecê-las direitinho é a garantia de sucesso nas provas de matemática do ENEM e dos vestibulares!

E caso vocês tenham muitas dúvidas no estudo do módulo, da análise combinatória, da trigonometria ou de qualquer outra área da matemática do ensino médio, é mais fácil de resolver do que parece: lhes apresento a Plataforma do Professor Ferretto!

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O que é o módulo (valor absoluto) de um número real?

Para entendermos as propriedades do módulo, é essencial que conheçamos o conceito de módulo de um número real. Basicamente, o módulo ou valor absoluto de um número real x, que representamos por |x|, é definido através da seguinte relação:

Aí vocês poderiam pensar: lá vem aquela linguagem matemática que a gente não entende nada. Pessoal, é muito simples! O quadro está nos mostrando que o módulo de qualquer número positivo e do número zero é igual a ele mesmo, enquanto que o módulo de qualquer número negativo é igual ao oposto dele mesmo. Olhem só esses dois exemplos:

| 5 | = 5

| –9 | = – (–9) = 9

No primeiro exemplo, como calculamos o módulo de um número positivo, o resultado foi o próprio número, 5. Já no segundo exemplo, calculamos o módulo de um número negativo, e como nesse caso, o resultado deve ser o oposto do número, basta multiplicarmos o valor, –9, por “–1”, e assim obtemos o seu oposto, 9. Portanto, podemos concluir que o resultado do módulo de qualquer número real jamais será um número negativo!

É imprescindível ter isso em mente para iniciarmos o estudo das propriedades do módulo. Vem comigo aqui!

Quais são as propriedades do módulo?

O módulo tem quatro propriedades fundamentais, válidas para todo x e y pertencentes aos números reais. Confira cada uma delas a seguir, com exemplos resolvidos passo a passo.

Propriedade 1 — o módulo de um número é igual ao módulo do seu oposto

Para todo x ∈ ℝ, temos | x | = | –x |.

Nós acabamos de aprender que o módulo de um número positivo é igual a ele mesmo, e que o módulo de um número negativo é igual ao oposto dele mesmo, gerando assim um resultado positivo também. Por isso, o módulo de um certo número x é exatamente igual ao módulo do seu oposto –x. Vamos fazer um exemplo numérico para que essa propriedade fique bem clara:

| 3 | = | –3 |

3 = – (–3)

3 = 3

Propriedade 2 — o quadrado do módulo é igual ao quadrado do número

Para todo x ∈ ℝ, temos | x² | = | x |² = x².

Essa propriedade normalmente é aplicada nas equações modulares. O fato é que não importa se um certo valor x for elevado ao quadrado e do resultado for extraído o seu módulo, ou se for extraído o módulo de um certo valor x e só depois o resultado for elevado ao quadrado, ou mesmo se não existir a operação do módulo, e somente o valor x for elevado ao quadrado. Em todos esses casos, o resultado será igual. Querem ver como é verdade?

Para x = 5.

| x² | = | 5² | = | 25 | = 25

| x |² = | 5 |² = 5² = 25

x² = 5² = 25

Vejam que desenvolvemos direitinho cada uma das operações, e o resultado foi exatamente o mesmo para todas elas. Aí poderíamos pensar: mas e se x for negativo, será que dá certo? A resposta é que sim, dá certo, porque o quadrado de qualquer número real é sempre um valor positivo.

Para x = –3.

| x² | = | (–3)² | = | 9 | = 9

| x |² = | –3 |² = 3² = 9

x² = (–3)² = 9

Assim, acabamos de comprovar que a propriedade realmente é válida para todo x ∈ ℝ.

Por que √(x²) = |x|? O segredo do sinal ± nas equações do 2º grau

Para todo x ∈ ℝ, temos √(x²) = | x |.

Às vezes, por pura simplicidade, quando resolvemos uma raiz quadrada de um número elevado ao quadrado, optamos por cancelar o índice 2 da raiz quadrada com o expoente 2 do número em questão. Nada de mal até aí, desde que consideremos que o resultado dessa operação seja o módulo de tal número, e não apenas o número.

Entenderam o porquê disto? Vou mostrar para vocês agora dois exemplos que tornam a questão muito clara:

No primeiro exemplo, onde calculamos a raiz quadrada de um número positivo elevado ao quadrado, parece que não houve problema quanto a considerar o resultado sem a aplicação do módulo.

Contudo, quando calculamos a raiz quadrada de um número negativo elevado ao quadrado, no segundo exemplo, não foi possível obter respostas semelhantes.

É aí que está o problema. Segundo a definição, a raiz quadrada de um número x é um número único e não negativo que, quando multiplicado por si próprio, se iguala a x.

Por isso, na resolução usual, nós obtemos apenas valores positivos como resposta, e por isso também, que precisamos aplicar o módulo ao radicando quando efetuamos aquela simplificação do expoente com o índice da raiz!

Pessoal, é tão comum inserirmos o sinal ± na resolução de uma equação do segundo grau, que muitos de nós nem sabem ao certo por que isso é feito.

Vou explicar direitinho para vocês agora: o sinal ± tem tudo a ver com a observação que estamos estudando. Acompanhem o exemplo abaixo.

Isso é o que nós faríamos normalmente, certo? Mas o fato é que, para resolver uma equação como essa, devemos inserir uma raiz quadrada em ambos os lados da equação, olhem só:

É aí que precisamos prestar bastante atenção! O sinal ± não irá aparecer porque a raiz quadrada de 25 pode ser +5 ou –5. A raiz quadrada de 25 é apenas +5! O fato é que tanto o módulo de 5 quanto o módulo de –5 geram o resultado 5.

Estamos estudando aqui, o valor de x a partir do módulo de x.

| 5 | = 5

| –5 | = 5

Assim, o conjunto solução desta equação é dado por:

S = {–5, 5}

O mesmo acontece em um caso como esse:

Tanto o módulo de 9, quanto o módulo de –9, resulta no valor 9. Por isso, as soluções que satisfazem este exemplo são dadas no conjunto abaixo:

S = {–9, 9}

Entenderam a ideia? É por esse motivo que costumamos usar o sinal ± naquele contexto de equação do segundo grau, porque o conceito de módulo está camuflado ali!

Portanto, não esqueçam: a operação da raiz quadrada em si resulta sempre em um único número positivo!

Agora, antes de estudarmos a próxima propriedade, vamos observar rapidamente mais um exemplo onde devemos buscar o valor de x a partir do módulo de x.

| x | = –2

Estranho, não é mesmo? Afinal, estamos acostumados com essa situação:

Tanto o módulo de –2, quanto o módulo de 2, resultam no valor 2, positivo. Mas não há valor algum de x, de tal maneira que o módulo de x seja –2.

Portanto, pessoal, a solução para um caso como esse, em que se afirma que o módulo de um certo valor x deve resultar em um valor negativo, é sempre o conjunto vazio.

S = { }

Propriedade 3 — o módulo do produto é o produto dos módulos

Para todo x e y pertencentes a ℝ, temos | x∙y | = | x |∙| y |.

Em uma situação em que se busca o módulo do produto entre dois termos x e y, é indiferente calcularmos o produto entre os termos primeiro, e em seguida obtermos o módulo do resultado, ou então, calcularmos o módulo de cada termo separadamente para depois efetuar o produto dos resultados. Acompanhem o exemplo abaixo:

Para x = 3 e y = –2.

| x∙y | = | x |∙| y |

| 3∙(–2) | = | 3 |∙| –2 |

| –6 | = 3∙2

6 = 6

Vejam que, independente da forma como resolvemos o caso, um resultado foi igual ao outro — por isso é possível “separar” os termos sem consequência alguma. Infelizmente, na próxima propriedade que veremos, não será possível afirmar o mesmo. Vem comigo aqui!

Propriedade 4 — o módulo da soma e a desigualdade triangular

Para todo x e y pertencentes a ℝ, temos | x+y | ≤ | x | + | y |.

Essa propriedade é conhecida como desigualdade triangular do módulo, e é uma das mais cobradas em provas justamente por não se comportar como uma igualdade simples.

Quando se trata do módulo da soma entre dois termos x e y, separar os termos, efetuar o módulo de cada um deles, e só depois somar os resultados, pode resultar em um valor maior ou igual ao que se chega quando a soma entre os fatores é realizada por primeiro, e só do resultado dela é que se extrai o módulo.

Vamos ver agora, através de exemplos, em que casos o resultado não é alterado e em que casos o resultado poderá ser maior.

Para x = 5 e y = 4.

| x+y | = | x | + | y |

| 5+4 | = | 5 | + | 4 |

| 9 | = 5 + 4

9 = 9

Nesse caso, o cálculo foi realizado apenas com valores de mesmo sinal, e sempre que isso acontecer o resultado irá se manter. Reparem agora na situação seguinte:

Para x = –3 e y = 2.

| x+y | < | x | + | y |

| –3+2 | < | –3 | + | 2 |

| -1 | < 3 + 2

1 < 5

Se os valores x e y possuem sinais diferentes, quando a soma é realizada primeiro, acontece na verdade uma subtração, diferente do caso em que o módulo é extraído primeiro, já que assim, os resultados são apenas positivos, e desta forma, jamais uma subtração seria realizada.

Por isso, um valor acaba sendo maior que o outro.

Assim, podemos concluir brevemente que, quando houver um caso de módulo da multiplicação entre dois termos, não há problema algum em separar os fatores.

Contudo, quando se tratar do módulo da soma entre dois termos, nem sempre é possível separar os fatores — por isso, ao aplicar a desigualdade triangular, temos que ficar bem atentos às diferentes situações.

Por que dominar as propriedades do módulo importa para o Enem e os vestibulares?

Certo, pessoal? Encerro o texto de hoje ainda mais encantado pela matemática, e espero ter contagiado todos vocês! Tenham certeza de que todo o conhecimento disponível aqui vai lhes ajudar a ir longe e alcançar tudo o que almejam!

Agora que vocês já dominam as quatro propriedades do módulo, o próximo passo natural é aplicar esse conhecimento diretamente na função modular, onde essas mesmas regras aparecem a todo momento na hora de montar gráficos e resolver equações e inequações.

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Só não deixem de olhar o vídeo que trago em anexo. Nele, vocês encontram exercícios resolvidos sobre o assunto, e uma abordagem que complementa tudo que foi visto!

Um forte abraço e até o próximo texto!

Perguntas frequentes sobre as propriedades do módulo

Quantas propriedades tem o módulo?

O módulo (ou valor absoluto) de um número real tem quatro propriedades fundamentais, válidas para todo x e y reais: o módulo do oposto (|x| = |–x|), o quadrado do módulo (|x²| = |x|² = x²), o módulo do produto (|x∙y| = |x|∙|y|) e o módulo da soma, também chamada de desigualdade triangular (|x+y| ≤ |x|+|y|). Além delas, vale sempre lembrar que o resultado de um módulo nunca é negativo.

O módulo de um número pode ser negativo?

Não. Por definição, o módulo de qualquer número real é sempre positivo ou igual a zero — nunca negativo. Por isso, uma equação como |x| = –2 não tem solução, e a resposta é sempre o conjunto vazio.

Por que aparece o sinal ± quando aplicamos a raiz quadrada em uma equação do 2º grau?

Porque a raiz quadrada de um número, por definição, resulta sempre em um valor único e não negativo. Quando simplificamos √(x²), o resultado correto não é x, e sim |x| — e é justamente essa propriedade que “esconde” o sinal ± nas equações do 2º grau, já que tanto x quanto –x podem satisfazer a equação original.

Qual é a diferença entre o módulo da soma e o módulo do produto?

No módulo do produto, |x∙y| = |x|∙|y| vale sempre, para quaisquer x e y. Já no módulo da soma vale apenas a desigualdade |x+y| ≤ |x|+|y|: o resultado só é igual quando x e y têm o mesmo sinal; quando os sinais são diferentes, o módulo da soma é sempre menor.

O que é a desigualdade triangular do módulo?

É o nome dado à propriedade |x+y| ≤ |x|+|y|, válida para todo x e y reais. Ela recebe esse nome por analogia com os triângulos, nos quais um lado nunca pode ser maior que a soma dos outros dois.