O Teorema de Tales é uma proporção matemática que permite relacionar o comprimento dos segmentos correspondentes de duas retas transversais de um feixe de retas paralelas. É um teorema clássico da Geometria Plana, que foi desenvolvido pelo matemático, astrônomo e filósofo grego Tales de Mileto.

Olá, pessoal! Tudo bem com vocês?

Neste texto, vamos abordar um teorema muito importante dentro do estudo da Geometria Plana. É o Teorema de Tales, que descreve matematicamente uma relação muito interessante entre duas retas transversais de um feixe de retas paralelas. Se vocês estão estudando para o ENEM e para os vestibulares, não deixem de acompanhar o texto comigo! Vamos resolver juntos vários exercícios que envolvem o Teorema de Tales, para que não reste nenhuma dúvida sobre o assunto!

Certo, pessoal? Então, é hora de partirmos para o nosso propósito. Fiquem agora com a definição do Teorema de Tales!

1. DEFINIÇÃO DO TEOREMA DE TALES

Se duas retas são transversais de um feixe de retas paralelas, então a razão entre dois segmentos quaisquer de uma delas é igual à razão entre os respectivos segmentos correspondentes da outra.

Acabamos de conhecer a definição do Teorema de Tales, pessoal! Mas quem ainda não entendeu direito esse conceito, não precisa se preocupar. Tudo na geometria plana fica muito mais fácil quando desenhamos a situação descrita em texto. Vamos lá!

Temos aí um exemplo de feixe de retas paralelas, que foram nomeadas como r, s, t e u. Reparem que elas não precisam estar igualmente espaçadas umas das outras. Uma reta transversal a este feixe de retas, é uma reta que cruza, ou que corta todas elas em algum ponto específico. Na imagem seguinte, duas retas transversais deste feixe são apresentadas.

A partir deste momento, podemos dizer que alguns segmentos são determinados em cada uma das retas transversais. Vamos nomear os segmentos formados na transversal da esquerda de x, y e z, e os segmentos formados na transversal da direita de a, b e c, do jeito que aparece na imagem abaixo.

Analisando esta imagem, podemos perceber que tanto o segmento x quanto o segmento a estão localizados entre as mesmas retas paralelas r e s. O mesmo acontece com os demais segmentos formados: y e b estão localizados entre as mesmas retas paralelas s e t, enquanto z e c se localizam entre as mesmas retas paralelas t e u. Sabem o que isso significa? Que x e a, y e b e z e c são segmentos correspondentes!

1ª Possibilidade

Agora estamos muito perto de desvendar o Teorema de Tales! Segundo a definição, dentro do contexto apresentado, a razão entre dois segmentos quaisquer de uma das retas transversais é igual à razão entre os respectivos segmentos correspondentes da outra.

Observem que a definição deixa bem claro que as razões que acabamos de estabelecer podem ser formadas entre dois segmentos quaisquer. Por isso, também podemos afirmar, por exemplo, que:

2ª Possibilidade

O Teorema de Tales é mesmo tão interessante que possui diversas maneiras de ser aplicado. Para montar as proporções do item acima, nós formamos uma igualdade entre duas razões cujo numerador e denominador são as medidas dos segmentos da mesma reta transversal (x e y; a e b).

Agora, nós vamos descrever o Teorema de Tales de um jeito diferente. Ele será formado pela igualdade entre duas razões cujo numerador e denominador são as medidas dos segmentos correspondentes entre as duas retas (x e a; y e b).

Reparem que neste caso, por exemplo, os segmentos da reta da esquerda (x e y) não estão todos do mesmo lado da igualdade, mas estão lado a lado quando observamos a proporção como um todo. Não parece, mas essa configuração é muito importante para que proporção seja equivalente à do item anterior.

3ª Possibilidade

Também podemos montar a proporção do Teorema de Tales somando as medidas dos segmentos das retas transversais ao feixe de retas paralelas. Neste caso, a razão entre a soma de dois segmentos quaisquer de uma das retas transversais é igual à razão entre a soma dos respectivos segmentos correspondentes da outra.

É, pessoal, poderíamos ficar aqui por horas obtendo outras proporções que descrevem corretamente o Teorema de Tales. Mas o mais importante nesse caso, é entender o conceito para aplicá-lo direitinho no contexto das questões do ENEM e dos vestibulares que vocês precisarão fazer. Então, peguem seus cadernos, lápis, caneta e vamos aos exercícios resolvidos!

2. EXERCÍCIOS RESOLVIDOS SOBRE O TEOREMA DE TALES

Exercício 1

Determine o valor de x sendo r, s e t retas paralelas.

Na imagem acima, temos um caso muito semelhante àquele que estudamos na teoria, não é mesmo? Assim, não tem mistério, pessoal! Levando em conta que x e 4 são as medidas dos segmentos correspondentes que se localizam entre as retas paralelas r e s, e que 6 e 8 são as medidas dos segmentos correspondentes que se localizam entre as retas paralelas s e t, podemos montar a seguinte proporção:

Sempre que uma igualdade entre frações aparece, nós podemos realizar a multiplicação cruzada:

Bem tranquilo, não é, pessoal? Então, antes de seguirmos para o próximo exercício, vamos verificar se o nosso cálculo está correto. Existe uma análise muito interessante que podemos fazer para descobrir as medidas dos segmentos das retas transversais num piscar de olhos.

Reflitam sobre o seguinte: na transversal da direita, nós temos dois segmentos cuja medida é conhecida, e vale 4 e 8. 8 é o dobro de 4, certo? Então, pessoal, podem ter certeza que essa proporção também será respeitada na outra reta transversal. Assim, se o correspondente do 8 é o 6, o correspondente do 4 que é a metade de 8, também será a metade de 6, ou seja, 3.

Exercício 2

Determine o valor de x e de y sendo r, s e t retas paralelas.

Agora complicou, não é, pessoal? Não parece, mas também podemos utilizar o Teorema de Tales para encontrar os valores dos segmentos x e y apresentados na imagem. Para que possamos montar a proporção do Teorema de Tales corretamente, faremos dois ajustes na representação do caso e tudo ficará mais claro. Acompanhem!

Podemos traçar, sem problema algum, mais uma reta paralela as demais retas do feixe, e esta passará estrategicamente pelo ponto de cruzamento das duas retas transversais. Assim, os segmentos de medidas 2, y, 6 e x ficam delimitados. Feito isso, o próximo passo é afastar as duas retas transversais, chegando na seguinte situação:

E aí, o que acharam dessa nova representação? Neste momento, podemos aplicar o Teorema de Tales com tranquilidade. Montaremos uma proporção para obter o valor de x e outra para obter o valor de y. Vejam só:

Nós vimos neste texto, que podemos aplicar o Teorema de Tales de diversas maneiras. Por isso, fica como tarefa resolver este mesmo exercício de outras formas para verificar se o resultado está correto. Quem topar o desafio pode deixar sua resolução nos comentários!

Exercício 3

Na figura, MN ‖ BC. Calcule o valor de AB.

O enunciado nos informa que o segmento MN é paralelo ao segmento BC, e dada essa condição, pede o comprimento do segmento AB. Não parece, mas podemos utilizar o Teorema de Tales para resolver esse caso também. Para que fique mais claro, vamos desenhar algumas retas sobre os segmentos MN e BC. Assim, teremos as famosas retas transversais de um feixe de retas paralelas.

Reparem que conhecemos a medida dos dois segmentos da reta mais a direita, e estes valem 3 e 6. Contudo, para encontrarmos a medida de AB, precisamos descobrir a medida dos segmentos da reta da esquerda, e todos estão em função de x. Vamos aplicar o Teorema de Tales para descobrir o valor dessa incógnita.

Pensando na proporcionalidade que é mantida entre as retas transversais, também poderíamos ter resolvido este exercício de uma maneira diferente. Na transversal da direita, temos um segmento que mede 3 e outro que mede 6, o dobro de 3. Assim, é possível ter certeza que a medida “x+6” vale o dobro da medida “x”.

x + 6 = 2x

2x – x = 6

x = 6

Deu certinho, não é?! Mas calma que essa ainda não é a resposta, pessoal. A questão pede o comprimento AB, de tal forma que:

AB = x + 6 + x

AB = 6 + 6 + 6

AB = 18 cm

Exercício 4

Um feixe de 4 paralelas determina sobre uma transversal três segmentos que medem 5 cm, 6 cm e 9 cm, respectivamente. Determine os comprimentos dos segmentos que esse mesmo feixe determina sobre uma outra transversal, sabendo que o segmento compreendido entre a primeira e a quarta paralela mede 60 cm.

Um tanto confuso, não é? Não depois de desenharmos o que é descrito no enunciado. Fiquem de olho!

Reparem que nomeamos os três segmentos cujo comprimento não conhecemos de x, y e z. Como foi informado que o segmento compreendido entre a primeira e a quarta paralela mede 60 cm, sabemos que a soma de x, y e z é igual a 60.

Assim, como temos o comprimento total dos segmentos da reta transversal da direita, também podemos somar os valores dos segmentos da reta transversal da esquerda. O resultado dessa soma é a chave para a resolução do problema.

Poderíamos montar agora uma série de proporções, mas tentaremos simplificar o caso. As medidas dos 3 segmentos da reta transversal da esquerda somam juntas 20cm. Já as medidas dos 3 segmentos da reta transversal da direita somam juntas 60cm. Pois então, 60 não é justamente o triplo de 20? Desta forma, vocês podem ter certeza que os segmentos x, y, z possuem o triplo da medida dos seus segmentos correspondentes, 5, 6 e 9.

x = 5·3 = 15 cm

y = 6·3 = 18 cm

z = 9·3 = 27 cm

Finalizando com dicas importantes!

Assim, finalizamos mais um texto! Mas para dominar o Teorema de Tales e detonar nas provas do ENEM e dos vestibulares, não deixem de revisar todo o conteúdo assistindo o vídeo que está em anexo. Espero vocês por lá!

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E claro, não esqueçam de refazer os exercícios que resolvemos. Estarei de olho nos comentários!

Bons estudos, sucesso e até mais!