Olá pessoal, tudo bem com vocês?

O assunto de hoje é sobre progressões aritméticas, vamos ver, mais especificamente, a soma dos termos de uma progressão aritmética ou, simplesmente, PA. Este é um assunto muito importante em relação a PA, que pode ajudar muito a você que está estudando para o Enem e para o vestibular.

O conteúdo completo de PA você encontra no site do Professor Ferretto. São videoaulas, exercícios resolvidos, simulados e muito mais, pra você que quer tirar uma nota boa em matemática no Enem e no vestibular. Acesse lá e confira!

Beleza? Então, vem comigo aqui!

1. ORIGEM DA FÓRMULA DA SOMA DOS TERMOS DA PA

Vou iniciar o assunto de soma dos termos de uma PA, contando pra vocês a história de Gauss. Pessoal, Carl Friedrich Gauss é considerado um dos maiores matemáticos de todos os tempos, sendo que ele atuou também na física e na astronomia. Conta-se que quando Gauss era um estudante de apenas 8 anos, seu professor, querendo manter a turma em silêncio, pediu aos alunos que somassem todos os números de 1 a 100. Depois de alguns minutos, Gauss disse ao professor que a soma de todos os números desta sequência era 5050. O professor muito surpreso, foi analisar como o menino tinha feito o cálculo, pois sua resposta estava correta. Vejam o raciocínio dele:

1 + 2 + 3 + 4 + … + 98 + 99 + 100

Ele percebeu que a soma do 1º com o último termo é igual à 101, que a soma do 2º com o penúltimo termo também é 101 e assim por diante, como mostra o esqueminha abaixo.

Como são 100 números que formam essa sequência, ele percebeu que eram formadas 50 parcelas de somas iguais, ou seja, 50 somas realizadas e cada soma valia 101. Então, Gauss concluiu que a soma total era 50 x 101, que resulta em 5050.

Desta forma, a soma dos termos de um conjunto de valores pode ser calculada pela soma de dois termos equidistantes, multiplicada pelo número de pares da sequência de valores, ou seja, por n/2:

Isso foi exatamente o que Gauss fez! Ele somou o primeiro com o último termo, e depois ele multiplicou pela metade dos termos existentes naquela sequência. Desta forma, Gauss contribui diretamente para a criação da fórmula da soma dos termos de uma PA. Essa é a fórmula da soma dos termos de uma progressão aritmética finita.

Vamos fazer alguns exercícios para vocês aprenderem direitinho como calcular a soma dos termos de uma PA.

2. EXERCÍCIOS RESOLVIDOS SOBRE A SOMA DOS TERMOS DA PA

Exercício 1

Calcule a soma dos termos dos 50 primeiros termos da PA (2, 6, …).

Reparem o seguinte, nessa PA, nós temos que o primeiro termo vale 2 e o segundo vale 6. Dessa forma, nós já podemos descobrir a razão, que é diferença entre o segundo termo e o primeiro termo. Então:

r = 6 – 2 = 4

Veja que a razão dessa PA é exatamente igual 4! Então, para descobrir a soma dos 50 primeiros termos, precisamos descobrir quanto vale o a_50, ou seja, o quinquagésimo termo dessa PA, pois já conhecemos o a₁ e, também, o n.

Vamos calcular o a₅₀, como vimos no texto Termo geral de uma PA. Para isso, lembrem o seguinte: a₅₀ nada mais é do que o primeiro termo acrescido de 49 razões.

a₅₀ = a₁ + 49.r

a₅₀ = 2 + 49 ‧ 4

a₅₀ = 2 + 196

a₅₀ = 198

Como encontramos o nosso a₅₀, vamos calcular agora a soma dos termos desta PA, substituindo o a₅₀ na fórmula.

A soma dos 50 primeiros termos é igual a 5000. Vamos continuar com os exercícios, vejam o que diz a questão de número 2.

Exercício 2

A soma dos dez termos de uma PA é 200. Se o 1º termo dessa PA é 2, qual é a razão da PA?

Vamos começar extraindo as informações dadas no enunciado da questão:

S₁₀ = 200

a₁ = 2

Vamos pensar no seguinte: a fórmula da soma dos termos considera o primeiro e o último termo e ainda o número de termos dividido por 2. Vamos substituir os dados na soma dos 10 primeiros termos e descobrir quanto vale o décimo termo.

Então, nosso último termo é exatamente igual a 38. Mas, a questão está pedindo qual é a razão desta PA. Assim, sabemos que a₁₀ é exatamente igual ao a₁ acrescido de 9 razões:

a₁₀ = a₁ + 9.r

38 = 2 + 9r

38 – 2 = 9r

36/9 = r

r = 4

Tudo certo até aqui? Vamos fazer o terceiro exercício, que diz o seguinte.

 Exercício 3

O 8º termo de uma PA é 89 e sua razão vale 11. Determine a soma de seus termos.

A questão traz as informações de que são 8 termos, e o nosso oitavo termo é 89. Como sabemos a razão, podemos descobrir o nosso a₁, e assim, na sequência, calcular a soma dos termos.

a8 = a₁ + 7.r

89 = a₁ + 7.11

89 = a₁ + 77

89 – 77 = a₁

a₁ = 12

Agora, basta usarmos a fórmula e encontrarmos a soma desses 8 termos:

Temos então que a soma dos termos dessa PA é 404. Agora pessoal, deem uma olhada nessa última questão aqui, uma questão clássica do assunto.

Exercício 4

Um teatro possui 12 poltronas na primeira fileira, 14 na segunda e 16 na terceira; as demais fileiras se compõem na mesma sequência. Quantas fileiras são necessárias para o teatro ter um total de 620 poltronas?

Então pessoal, nós temos aqui uma PA com a seguinte sequência:

PA (12, 14, 16, ….)

Repare que a diferença entre os termos apresentados na sequência acima é sempre 2, de forma que a razão dessa progressão é 2. Mas nós queremos saber quantas fileiras, ou seja, quantos termos, existem nessa PA, para que a soma dessas poltronas seja exatamente igual a 620. Para isso, precisamos saber qual é o número de poltronas na última fileira, ou seja, qual é o valor de a_n, o enésimo termo da PA.

a_n = a1 + (n – 1) · r

a_n= 12 + (n – 1) · 2

a_n = 12 + 2n – 2

a_{n =} 2n + 10

Substituindo o a_n encontrado, na fórmula da soma dos termos de uma PA, nós vamos ter então:

Reparem que, na equação acima, todos os coeficientes são pares. Por isso podemos simplificar toda essa equação por 2, ficando com:

n² + 11n – 620 = 0

Encontramos uma equação do 2º grau, e assim nós podemos obter duas raízes, ou seja, n₁ e n₂, através do método da soma e produto. Vejam só:

Observem que o produto das duas raízes tem que resultar em –620. Podemos perceber que o 10 e o 62 não podem ser raízes, pois a soma nunca chegará a ser –11. Desta forma, podemos tentar com 20 e 31, ou seja, nós duplicamos o 10 e dividimos o 62 por 2.

Como o produto das duas raízes é –620, uma delas deve ser negativa. Outra percepção é que, como a soma tem que ser –11, a maior raiz deve ser negativa, ou seja, o 31. Assim, podemos perceber que essas duas raízes, 20 e -31 são a solução para a equação do 2º grau encontrada.

No entanto, apenas uma delas pode representar a quantidade de fileiras nesse teatro e, no caso, será a raiz positiva n = 20, ou seja, deve haver um total de 20 fileiras para que o teatro tenha 620 poltronas.

Chegamos ao final de mais um texto e eu espero que tenha sido muito proveitoso e que ajude muito nos seus estudos! Em anexo está o vídeo sobre o conteúdo aprendido hoje. Além disso, há outros exercícios para você que quer se aprofundar mais no assunto.

Bons estudos e muito sucesso! Até mais!