OPERAÇÕES COM INTERVALOS

Olá pessoal! Tudo tranquilo?

Recentemente, nós estudamos aqui no blog todos os intervalos reais, e com isso, descobrimos que existem 3 formas de representá-los. Uma delas, a forma geométrica, é extremamente importante para o texto de hoje: através dela é possível realizar a união, a intersecção, e a diferença entre dois ou mais intervalos facilmente! Por isso, se vocês desejam saber como resolver todas essas operações com intervalos, fiquem por aqui! Vamos ver uma série de exemplos que irão lhes ajudar, e muito, a solucionar as questões do ENEM e dos vestibulares que envolvem o assunto!

É fato que as operações com intervalos aparecem muito na resolução de inequações. Também não podemos negar, que de uma forma ou de outra, todos os assuntos da matemática do ensino médio se relacionam uns com os outros, e compreender bem essa relação pode ser o segredo para tirar aquela nota no ENEM e nos vestibulares mais tradicionais do país! Pois é justamente nesse sentido que o Professor Ferretto pode lhes ajudar! Na sua plataforma de ensino online, ele disponibiliza todo o conteúdo da matemática e da física do ensino médio, sempre de forma didática e com foco na interpretação das questões! São mais de 1000 exercícios resolvidos em vídeo, sem contar os simulados que são disponibilizados semanalmente! Acessem o site, e conheçam todos os benefícios que vocês garantem ao assinar a plataforma!

Beleza, pessoal? Então, vamos começar! Neste texto, nós utilizaremos os 3 intervalos reais listados abaixo como base para exemplificar as operações de união, intersecção e diferença entre os intervalos.

                                                                               A = {x ∈ ℝ | –1 ≤ x < 4}

                                                                               B = {x ∈ ℝ | x > 2}

                                                                               C = ] –∞, 3]

E aí, o que acharam deles? Vejam que A e B estão sendo representados na forma de conjunto, enquanto C está sendo representado na forma de intervalo em si. Observem também, que o intervalo A é fechado a esquerda e aberto a direita, enquanto os intervalos B e C são infinitos, indo em direção ao “mais infinito” e ao “menos infinito” respectivamente. Mas como foi dito logo no início do texto, é a representação geométrica que pode nos ajudar a realizar as operações entre esses intervalos. Por isso, nossa primeira tarefa de hoje será obter a representação geométrica de A, B, e C.

Agora nós já estamos prontos para realizar qualquer operação entre A, B e C. E para que tudo seja feito corretamente, é importante seguir os passos listados na sequência:

1º: Posicionar a representação geométrica dos dois ou mais intervalos envolvidos uma embaixo da outra, e logo abaixo disso, traçar uma reta que representará geometricamente o resultado da operação.

2º: Traçar um pontilhado vertical na região de cada bolinha que representa os valores de referência dos intervalos.

3º: Compreender direitinho o conceito da operação que será realizada, seja ela a união, a intersecção ou mesmo a diferença entre dois ou mais intervalos, e por fim, representar o resultado.

Entendido? Então podemos partir para o primeiro exemplo. Vem comigo aqui!

1. A ⋃ B

Vejam que os intervalos envolvidos neste caso são o A e o B. Portanto, vamos redesenhar a representação geométrica de cada um deles, uma embaixo da outra, e logo abaixo delas colocaremos uma reta que representará o resultado da operação.

Através da imagem acima, é possível perceber que os valores de referência dos intervalos envolvidos na operação são –1, 2 e 4. Vamos traçar um pontilhado vertical na região de cada bolinha que representa esses valores, pois isso facilitará a resolução da operação logo mais.

Agora, é chegada a hora em que finalmente iremos realizar a operação em si! O símbolo ⋃ representa a união, cujo conceito é o seguinte:

Dados dois conjuntos A e B, chama-se união de A e B o conjunto formado pelos elementos que pertencem ou a A ou a B.

Segundo essa definição, qualquer valor numérico que pertença ou a A ou a B, ou aos dois intervalos, fará parte da união entre estes dois intervalos. Voltando a imagem acima, nós podemos perceber que os valores de A iniciam em –1, incluindo o próprio –1 e vão até o 4 sem incluí-lo. Por sua vez, o intervalo B inicia em 2, sem incluí-lo, e segue rumo ao mais infinito. Aí é muito importante repararmos, que apesar do 4 não fazer parte de A, ele faz parte do intervalo B, da mesma forma que embora o valor 2 não faça parte de B, ele faz parte do intervalo A. Como na operação da união, basta que o valor numérico se localize em um dos intervalos para fazer parte da solução, o conjunto A ⋃ B será formado por todos os valores reais maiores ou iguais a –1.

A ⋃ B = [ –1, +∞ [ = {x ∈ ℝ | x ≥ –1}

Interessante, não é mesmo? Vamos ao próximo exemplo, onde realizaremos uma nova união entre dois intervalos. Isso nos permitirá ser um pouco mais breves, acompanhem!

2. A ⋃ C

Agora, os intervalos envolvidos são o A e o C. Vamos redesenhar a representação geométrica de cada um deles, a reta que representará o resultado da operação, e também os pontilhados verticais em cada um dos valores de referência de ambos os intervalos.

Novamente, por estarmos tratando de uma união, sabemos que qualquer valor que pertença ao intervalo A, ao intervalo C ou a ambos os intervalos, fará parte da solução. O intervalo A inicia em –1, incluindo o próprio –1, e termina 4, sem incluí-lo. Já o intervalo C vem lá de menos infinito e termina em 3, o incluindo. Assim, é fato que todos os valores que vem de menos infinito, incluindo –1 e 3 que pertencem a ambos os intervalos, fazem parte da solução. Além disso, valores que iniciam depois de 3 e vão até 4, sem incluí-lo, também fazem parte da solução, afinal pertencem a pelo menos um dos intervalos, o A.

A ⋃ C = ] –∞, 4 [ = {x ∈ ℝ | x < 4}

3. A ⋂ B

Parece que mudamos de operação, não é mesmo? O símbolo ⋂, representa a intersecção, cujo conceito é o seguinte:

Dados dois conjuntos A e B, chama-se intersecção de A e B o conjunto formado pelos elementos que pertencem a A e a B.

Segundo essa definição, só farão parte da interseção entre os intervalos A e B, os valores que pertencerem a ambos os intervalos simultaneamente. Assim, vamos redesenhar a representação geométrica de cada um deles, a reta que representará o resultado da operação, e também os famosos pontilhados verticais de que tanto temos falado. Em seguida, poderemos fazer a análise da situação.

Vejam que nesse caso, os únicos valores que pertencem a ambos os intervalos simultaneamente se situam entre 2 e 4, sem incluí-los, afinal, o valor 4 pertence apenas ao intervalo B, enquanto o valor 2 pertence apenas ao intervalo A.

A ⋂ B = ] 2, 4 [ = {x ∈ ℝ | 2 < x < 4}

Viram como a intersecção exige um pouquinho mais de cuidado? Mas não se preocupem, vamos a mais um exemplo sobre o assunto!

4. A ⋂ C

Conhecendo o conceito de intersecção e observando a imagem acima, nós podemos concluir que os únicos valores que pertencem a A e a C simultaneamente, são aqueles que começam em –1 e terminam em 3, incluindo os próprios –1 e 3, já que ambos também pertencem aos dois intervalos.

A ⋂ C = [ –1 , 3 ] = {x ∈ ℝ | –1 ≤ x ≤ 3}

5. A ⋂ B ⋂ C

E aí, o que acharam deste novo exemplo? Apesar da operação parecer complicada, acreditem, não muda quase nada quando a comparamos com os exemplos anteriores. Vamos redesenhar a representação geométrica dos 3 conjuntos, a reta que representará o resultado da operação, e os pontilhados verticais normalmente. Em seguida, usaremos o conceito de intersecção que já conhecemos para definir o resultado.

Observem que o único trecho de valores que pertence aos três conjuntos simultaneamente é aquele que inicia no valor 2, sem incluí-lo, afinal este valor não faz parte do intervalo B, e vai até o número 3, incluindo-o, já que 3 pertence aos três intervalos simultaneamente.

A ⋂ B ⋂ C = ] 2 , 3 ] = {x ∈ ℝ | 2 < x ≤ 3}

Tudo tranquilo, pessoal? E para quem não está conseguindo enxergar direitinho os valores que pertencem a todos os conjuntos envolvidos no meio de tantas representações, fica a aquela dica ninja que não dá para perder!

Se vocês focarem nos espaços entre os pontilhados verticais, fica muito mais fácil de estabelecer onde todos os intervalos estão definidos, e onde eles possuem valores simultaneamente.

Beleza? Então vamos a última operação com intervalos de hoje!

6. A – B

Já que já redesenhamos a representação geométrica dos intervalos A e B, a reta que representará o resultado da operação, e também os pontilhados verticais que nos ajudarão a determinar a solução do caso, vamos revisar o conceito de diferença entre dois intervalos:

Dados dois conjuntos A e B, chama-se diferença entre A e B, o conjunto formado pelos elementos de A que não pertencem a B.

Segundo esta definição, para obtermos a diferença entre os intervalos A e B, basta descontarmos ou removermos do intervalo A os valores que também pertencem ao intervalo B. Observando a imagem acima, nós podemos perceber que os únicos valores de A que também pertencem ao intervalo B são aqueles que se situam entre 2 e 4, sem incluí-los, afinal o 4 não pertence ao intervalo A, enquanto o 2 não pertence ao intervalo B. Por isso, vamos remover esses valores, e a região do intervalo A que restar será o resultado da operação.

A – B = [ –1 , 2 ] = {x ∈ ℝ | –1 ≤ x ≤ 2}

Reparem, pessoal, que o fato do número 2 pertencer ao intervalo A mas não pertencer ao intervalo B, fez com que ele não fosse excluído da solução. Por isso, obtivemos como resultado um intervalo fechado a esquerda e a direita. Nosso último exemplo do texto abordará um contexto um pouquinho diferente, olhem só!

7. B – C

Neste caso, como deveremos calcular a diferença entre os intervalos B e C, nós precisaremos descontar do intervalo B os valores que também pertencem ao intervalo C. Visto isso, podemos observar na imagem acima, que os únicos valores de B que também pertencem a C são aqueles que começam depois de 2, já que 2 não pertence a B, e vão até 3, incluindo o próprio 3, uma vez que ele pertence a ambos os intervalos. Excluindo ou removendo esses valores em comum do conjunto B, nós concluímos que pertencerão a solução todos os valores reais superiores a 3, sem incluí-lo.

B – C = ] 3 , +∞ [ = {x ∈ ℝ | x > 3}

E aí pessoal, o que acharam destes exemplos? Espero que eles tenham tornado mais claras as operações de união, intersecção e diferença entre os intervalos para vocês! Mas se ainda restarem dúvidas, não deixem de dar uma olhada no texto Intervalos Reais, e assistam o vídeo que está em anexo logo abaixo. Nele, eu explico todos esses exemplos em uma abordagem que complementa tudo o que vimos por aqui! Por fim, desejo muito sucesso nos estudos de vocês e reforço: tem muita matemática a ser explorada aqui no blog!

Um abração a todos e até logo!