NOTAÇÕES ESPECIAIS DE UMA PROGRESSÃO GEOMÉTRICA (PG)

Olá pessoal! Como vão?

Uma progressão geométrica, a quem costumamos chamar de PG, pode ser formada por uma série de termos, conhecidos como a₁, a₂, a₃, até o seu enésimo termo, a_n. Mas curiosamente, quando uma sequência numérica como essa tem apenas 3 ou 4 termos, existe uma forma de reescrevê-la que pode tornar as resoluções dos exercícios muito mais fáceis! Vocês não acharam que a PG ia ficar de fora dessa não é? Uma vez que já tratamos das notações especiais da PA, no texto de hoje abordaremos as notações especiais da PG! Estudem o assunto comigo, e eu garanto: não haverá mais dúvidas nos vestibulares e no ENEM quando as questões tratarem de progressão geométrica!

Mas antes de começarmos, aqui vai uma dica bem importante: vocês conhecem a plataforma do Professor Ferretto? É uma plataforma de ensino de matemática, que tem como objetivo auxiliar os vestibulandos e quem está estudando para a prova do ENEM a entenderem tudo sobre a matemática do ensino médio! São videoaulas, exercícios resolvidos em vídeo, simulados semanais, e ainda, aulas de física na faixa disponíveis para todos os alunos! Acessem o site, e confiram todas as vantagens que o curso pode lhes oferecer!

Vamos lá pessoal?! Antes de estudarmos cada uma das notações especiais da progressão geométrica em si, nós faremos uma breve revisão sobre alguns conceitos muito interessantes. Vem comigo aqui!

Nós já estudamos no texto Definição e classificação de uma PG, que não são quaisquer termos aleatórios que podem formar uma progressão geométrica, mas sim que existe uma “lógica” entre os termos da sequência:

Uma PG é uma sequência em que cada termo, a partir do segundo, é o produto do anterior por uma constante q dada.

Ah, é mesmo, cada um dos termos de uma certa progressão geométrica, a partir do segundo, pode ser obtido através do produto do seu termo antecessor por uma constante q, a razão da PG! Da mesma forma, qualquer termo de uma PG, que não seja o último, pode ser obtido através da divisão entre seu termo sucessor e a razão q.

Assim, de acordo com o quadro acima, se nós possuirmos o valor de qualquer um dos termos de uma progressão geométrica, e também da razão q dessa PG, é possível encontrar o valor de qualquer outro termo desejado, observando os saltos que a razão dá na sequência, para a direita, ou para a esquerda. Abaixo, seguem alguns exemplos:

Ficou clara a ideia? Caso nada do que foi dito esteja fazendo sentido, deem uma olhadinha no texto Termo geral de uma PG. Lá tudo isso está bem explicadinho!

Então pessoal, nós revisamos todas essas informações porque é exatamente essa lógica que vamos utilizar para montar as notações especiais da PG. Com isso, nós vamos conseguir reduzir as incógnitas das sequências, que antes eram 3, ou 4, para apenas 2: um dos termos da PG e a sua razão q. Preparados?!

1. NOTAÇÃO PARA UMA PG DE 3 TERMOS

Uma PG de três termos costuma ser definida como:

PG (a₁, a₂, a₃)

Vejam que se desejarmos obter os valores numéricos dessa sequência, precisaremos encarar 3 incógnitas: a₁, a₂, e a₃. Assim, no intuito de diminuir o número de incógnitas de uma PG de 3 termos, em um primeiro momento, poderíamos substituir o valor de a₁ pela variável x, e encontrar os demais termos, a₂ e a₃, com base no valor de a₁ e da razão q da PG.

Como do termo a₁ até o termo a₂, temos apenas um salto da razão q, o valor de a₂ pode ser encontrado multiplicando-se o termo a₁ por uma razão. Já do termo a₁ até o termo a₃, temos dois saltos da razão q. Por isso, para encontrar a₃ a partir de a₁, é necessário multiplica-lo duas vezes pela razão q. Mas nós não havíamos combinado de substituir o valor de a₁ por x? Exatamente! Assim, chegamos a nossa primeira notação:

Bem tranquilo não é? E se nós substituíssemos o valor do termo a₂ pela variável x? Como faríamos para encontrar o valor de a₁ e de a₃ a partir de a₂ e da razão q? É simples também, basta lembrarmos novamente do quadro lá do início do texto.

Observem que para “voltar” na sequência, ou seja, para obtermos o valor de um termo com base em seu termo sucessor, precisamos dividir esse termo sucessor pela razão q. Já quando “avançamos” na sequência, ou seja, quando obtemos o valor de um termo com base em seu termo antecessor, nós multiplicamos esse termo antecessor pela razão q. E aí, é claro, surge uma segunda possibilidade de representação para uma PG de 3 termos:

A partir de toda essa informação, nós podemos concluir que existem duas maneiras de representar uma PG com 3 termos. Aí, já nos vem à mente a pergunta: qual devemos utilizar? O fato é que a primeira maneira parece mais simples, mas nem sempre o que é mais simples é mais prático, por isso, a segunda maneira costuma ser utilizada com mais frequência. Mas as duas funcionam, então a dica é analisar o contexto do exercício e utilizar aquela que for mais familiar a vocês!

2. NOTAÇÃO PARA UMA PG DE 4 TERMOS

Uma PG de quatro termos costuma ser definida como:

PG (a₁, a₂, a₃, a₄)

Da mesma forma que no item anterior, nosso objetivo aqui é diminuir o número de incógnitas da PG que acabamos de visualizar. E existem, novamente, duas maneiras diferentes de representar essa progressão geométrica com base em qualquer um dos termos da sequência, e de sua razão q.

Contudo, nesse caso, utilizar a ideia de avançar e voltar na sequência, como foi feito na segunda forma de representar uma PG de 3 termos, torna tudo mais complexo, e nós estamos aqui para facilitar as coisas não é? Assim, vamos optar por utilizar apenas uma notação para as progressões geométricas de 4 termos, que é muito semelhante a primeira forma que utilizamos para representar uma PG de 3 termos. Vamos lembrar novamente do famoso quadro que observamos no início do texto:

Mais uma vez, a ideia é substituir o valor do termo a₁ pela variável x, e em seguida substituir os demais termos, a₂, a₃, e a₄, por seus valores obtidos com base em a₁ e na razão q da PG. Esses valores são os que vemos na figura acima, onde a multiplicação pelo termo a₁ é baseada em quantos saltos a razão dá para a direita, na sequência. E assim, chegamos a notação para uma PG de 4 termos:

Parece mesmo vantajoso tratarmos de 2 incógnitas ao invés de 4, vocês não acham? Agora, vamos aplicar um pouco do que acabamos de aprender em um exercício muito interessante. Vem comigo aqui!

Escreva três números em PG cujo produto seja 27 e a soma dos dois últimos seja 15.

Pessoal, vejam que o enunciado fala em produto dos três números de uma PG. Então, vamos montar um produto para cada uma das notações, e em seguida poderemos ter uma ideia melhor do que é mais viável:

E aí, o que vocês acharam do resultado da nossa análise? Vejam que nesse caso, utilizar a segunda notação que aprendemos é muito mais viável, afinal, conseguimos cancelar a razão q da equação e assim, será possível encontrar diretamente o valor de x. Por isso, nesse caso, é melhor utilizar essa segunda notação. Em um contexto diferente, pode ser que seja mais simples utilizar a outra.

Agora que já temos o valor de x, vamos utilizar mais uma informação dada no enunciado para descobrir o valor da razão q: “a soma dos dois últimos termos deve ser 15”.

Neste momento, de posse do valor de x e do valor da razão q, só nos resta montar a PG que a questão nos pede. Vamos lá!

Tudo entendido? Encerramos o assunto de hoje por aqui! Mas espero que o que vimos nesse texto tenha sido bastante proveitoso, e que possa servir de exemplo para futuras resoluções das questões de PG! E claro, não esqueçam de assistir o vídeo que estou deixando em anexo. Lá vocês encontram mais 3 exemplos muito interessantes sobre o uso das notações especiais da progressão geométrica.

Abração pessoal! Persistam nos estudos, pois irá valer a pena!