MÁXIMO DIVISOR COMUM (MDC)

Olá pessoal, tudo bem com vocês?

Hoje vamos falar sobre mais um assunto da matemática básica, o Máximo Divisor Comum, mais conhecido como MDC. O MDC é o maior número inteiro que divide dois ou mais números, e esse conceito pode ser utilizado em diversas aplicações, por isso, está sempre presente nas provas do ENEM e dos vestibulares!

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Vamos começar? Para entendermos direitinho qual é a ideia do MDC nós vamos utilizar um exemplo, representando em forma de conjunto os divisores do número 18 e do número 30.

D (18) = {1, 2, 3, 6, 9, 18}

D (30) = {1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30}

Nesses dois conjuntos, notem que existem elementos em comum. Por exemplo, o 1 é divisor do 18 e é divisor do 30, o 2, o 3 e o 6 também são elementos comuns que dividem tanto o 18 quanto o 30. Podemos dizer então, que esses elementos são os divisores do 18 e do 30 simultaneamente, mas reparem que o maior deles é o número 6, ou seja, ele é o maior divisor comum entre o 18 e o 30.

MDC (18, 30) = 6

Tranquilo pessoal? E se eu perguntasse a vocês qual é o MDC entre 1500 e 2050? Teríamos um grande trabalho para encontrar todos os divisores dos dois números, e depois verificar quais são comuns entre ambos até descobrir o maior deles, não é? Por isso, vou ensinar a vocês agora, dois métodos para encontrar o MDC entre dois ou mais números. Vem comigo aqui!

1. ALGORITMO DE EUCLIDES

Um dos métodos que facilita bastante o nosso trabalho de encontrar o MDC entre dois números, é um método muito antigo, chamado de algoritmo de Euclides. Uma de suas particularidades é que não é necessário fazer qualquer fatoração.

Para entendermos como ele funciona, nada melhor do que começar com um exemplo! Vamos calcular o máximo divisor comum entre o 160 e o 64. Para isto, iremos montar um esqueminha colocando sempre o maior número do lado esquerdo (160) e o menor do lado direito (64). A seguir, vamos passar um traço entre eles e duas linhas horizontais, como mostra a figura abaixo.

Feito isso, nós vamos efetuar uma divisão entre o 160 e o 64, nós vamos verificar quantas vezes o 64 cabe dentro do 160, ou seja, quantas vezes é preciso multiplicar o 64 para que o valor seja menor ou igual a 160.

Bom, 2 vezes 64 irá resultar em 128, faltando 32 para 160. Desta forma, colocamos o 2, o quociente da divisão, na parte superior, junto ao 64, e o 32, o resto da divisão, na parte inferior, junto ao 160. Após isso, passamos o 32 para o lado direito do 64 e continuamos a divisão, mas agora com o 64 e o 32.

Observem que, para 64, basta multiplicarmos o 32 por 2 e dará certinho. Então, colocamos o 2, quociente dessa nova divisão, na parte superior em cima do 32, e o restante, que neste caso é zero, embaixo do 64. Quando chegamos ao zero, nossa busca pelo MDC acaba, sendo que, o último número da linha central é o nosso maior divisor comum. Assim:

MDC (160, 64) = 32

Vejam que o método do algoritmo de Euclides é simples e não exige muito trabalho, no entanto, ele possui uma limitação. Com este método só podemos calcular o MDC de apenas 2 números por vez, não conseguimos calcular para 3, 4 ou mais números. Em casos como esses, nós utilizamos um segundo método, baseado na decomposição simultânea em fatores primos. Vamos aprender como utilizá-lo em seguida.

2. DECOMPOSIÇÃO SIMULTÂNEA EM FATORES PRIMOS

Para calcularmos o MDC entre 2, 3, 4 ou mais números, precisamos decompor todos esses números simultaneamente em fatores primos. Nós realizamos a decomposição exatamente da mesma maneira utilizada no cálculo do MMC, como vocês aprenderam no texto Mínimo Múltiplo Comum e suas Propriedades. Caso vocês desconheçam como é feita a decomposição ou não tenham lido esse texto, deem uma olhadinha nele para que o exemplo que vamos utilizar agora fique ainda mais claro!

Vamos descobrir o MDC entre o 90 e o 54.

Vejam na figura acima que realizamos a decomposição em fatores primos dos termos 90 e 54. Contudo, a solução daqui pra frente é um pouco diferente do MMC, em que a gente multiplicava todos os números e encontrava o menor múltiplo comum. Nesse caso, nós vamos multiplicar apenas os números que dividiram a linha inteira, ou seja, que dividiram os dois números simultaneamente, como ilustrado a seguir.

Observem que os números 2, 3 e 3 foram assinalados com um asterisco (*) porque dividiram 90 e 54, depois 45 e 27 e depois 15 e 9, respectivamente, o que não acontece na sequência, quando o número 3 divide apenas o 3 e o 5 apenas o 5, no passo seguinte. Assim, os dois números em decomposição, foram fatorados simultaneamente apenas pelos números 2, 3 e 3, de forma que o MDC entre os números é:

MDC (90, 54) = 2 · 3² = 18

Então, o que vocês acharam desse novo método? Encontrar o MDC através da decomposição simultânea em fatores primos é realmente bastante prático. Para continuar a aula, vamos ver agora quatro propriedades que envolvem o MDC.

3. PROPRIEDADES

P.1 –  O máximo divisor comum entre dois ou mais números primos é sempre igual a 1.

Por exemplo, quando quisermos saber o MDC entre 11 e 7. Como são dois números primos, não há necessidade de calcular, sabemos que o MDC é 1.

MDC (11, 7) = 1.

Assim, o maior número que divide o 11 e o 7, sem deixar restos, é o 1. Agora vamos ver uma observação bem importante, sobre números primos entre si:

Vamos ver um exemplo:

MDC (4, 5) = 1

Se o MDC entre 4 e 5 é 1, com certeza o número 4 e o número 5 são primos entre si. Isto não quer dizer que os dois sejam números primos, pois o 4 não é um número primo. Desta forma, os números serem primos entre si não significa que eles dois são números primos, mas sim que o MDC entre eles é sempre igual a 1.

P.2 – Se a é divisor de b, então, o MDC (a, b) = a.

Vamos ver como funciona esta propriedade também através de um exemplo, observando o MDC entre 6 e 18. Neste caso, vejam que o 6 é divisor do 18, pois 18 dividido por 6 dá 3 com resto zero. Se dá resto zero encontramos o MDC que é o 6, exatamente como aprendemos no método do algoritmo de Euclides.

MDC (6, 18) = 6

P.3 – Se forem realizadas operações de multiplicação ou de divisão, em ambos os números onde se esteja extraindo o MDC, então as mesmas operações podem ser realizadas no próprio MDC desses números.

Vamos fazer um exemplo para ficar mais fácil o entendimento:

MDC (8, 12) = 4

Se nós multiplicarmos por 2 os números 8 e 12, teremos 16 e 24. Aí, se desejarmos calcular MDC entre 16 e 24, basta que multipliquemos por 2 também o MDC entre 8 e 12.

Ficou clara a ideia? O mesmo ocorre em um caso de divisão. Se dividirmos 16 e 24 por 4, por exemplo, teremos os valores 4 e 6, certo? Se quisermos saber o MDC entre 4 e 6 basta dividirmos por 4 o MDC entre 16 e 24, que é 8, de forma que:

P.4 – Relação entre MMC e MDC:

O mínimo múltiplo comum, entre os números a e b, multiplicado pelo máximo divisor comum entre a e b, é igual a multiplicação de a por b.

MMC (a, b) · MDC (a, b) = a · b

Vejam que não precisamos calcular necessariamente o MMC e o MDC entre a e b, para encontrar o resultado. Vamos aplicar isto em um exemplo e ver como fica:

MMC (12, 18) · MDC (12, 18) = 12 · 18 = 216

Vocês podem fazer o cálculo do MMC e do MDC entre 12 e 18, para confirmar que o resultado da multiplicação entre eles é 216! Agora, vamos aplicar tudo que vimos até então em uma questão para vocês entenderem direitinho o conteúdo.

Pretende-se decorar uma parede retangular com quadrados pretos e brancos, formando um padrão quadriculado semelhante ao de um tabuleiro de xadrez e preenchendo toda a parede de maneira exata (sem sobrar espaços ou cortar quadrados). A figura a seguir ilustra uma parte desse padrão de quadriculado.

Considerando-se que a parede mede 8,80 m por 5,50 m, o número mínimo de quadrados que se pode colocar na parede é:

Precisamos entender aqui que se é desejado o número mínimo de quadrados, é necessário que os quadrados tenham o maior lado possível. Então, precisamos fatorar 8,80 m e 5,50 m para encontrar o maior divisor entre eles, que será o tamanho do lado do quadrado. No entanto, fatorar números com vírgula não dá certo. O jeito aqui é transformar isto para centímetros, como aprendemos no texto Sistema Métrico Decimal. Logo:

• 8,80m · 100 = 880 cm
• 5,50m · 100 = 550 cm

Agora vamos fazer o MDC destes dois números usando uma das propriedades que aprendemos. Ao invés de fatorarmos 880 e 550, vamos fazer a fatoração simultânea entre 88 e 55, e depois utilizar a propriedade 3.

Como não queremos o MDC entre 88 e 55, mas sim entre 880 e 550:

Agora podemos calcular quantos quadrados irão caber em cada lado da parede. Como o comprimento é 880 cm, teremos 8 quadrados (880 cm/110 cm) e como a altura é 550 cm, teremos 5 quadrados (550 cm/110 cm). Desta forma, o total de quadrados será:

T = 5.8 = 40 quadrados

Chegamos ao final de mais um texto e eu espero que tenha sido muito importante para os seus estudos. Deixo em anexo um vídeo sobre o conteúdo, que contém também mais alguns exercícios, para que vocês treinem e fiquem afiados para o Enem!

Um abração, sucesso e até mais!