INEQUAÇÕES EXPONENCIAIS – PARTE 1

Olá, pessoal! Como vão?

Inequações exponenciais são todas as inequações que possuem a incógnita no expoente. Quem já ouviu falar das equações exponenciais, vai perceber que a solução das duas é bastante parecida, com exceção de um detalhe ao qual vamos dar muita ênfase por aqui: o valor da base a de cada lado da desigualdade! Vocês vão ver no texto de hoje, que o fato do valor numérico da base a se situar entre 0 e 1, ou ser maior do que 1, influencia diretamente no rumo que damos ao final da solução! Mas calma, não há motivos para se assustar! Depois de toda a teoria e dos exemplos que vamos resolver hoje, não vai ter erro nas provas de vestibulares que abordarem o assunto!

E se vocês estão achando estranho o fato de eu nem ter mencionado as famosas provas do ENEM, saibam que existem conteúdos da matemática do ensino médio que não costumam cair nessas provas. Assim, pensando no foco de cada um de seus alunos, o Professor Ferretto disponibiliza em sua plataforma de ensino planos de estudo diferentes para quem deseja prestar somente o ENEM, somente os vestibulares, ou mesmo os dois tipos de prova! Isso permite que vocês se organizem, e tenham o conhecimento necessário para não ter nenhuma dúvida quando chegarem lá. Querem conhecer as demais vantagens da plataforma? Então cliquem aqui, e deem uma olhada no nosso site!

Feito, pessoal? Como eu disse logo aí em cima, na resolução das inequações exponenciais, é extremamente importante prestar atenção no valor numérico da base a:

Para quem ficou confuso a respeito do significado desse quadro tão valioso, aí vai um exemplo que pode clarear um pouco as coisas:

2^x = 8

Calma, pessoal! Essa ainda não é uma inequação exponencial! Isso porque a expressão acima apresenta um sinal de igualdade, o “=”, e não os famosos sinais de desigualdade “<”, “>”, “≤”, “≥”, e “≠”. Não parece, mas trazer à tona a resolução de uma equação exponencial irá nos ajudar a entender as possíveis soluções para a nossa amiga inequação.

2^x = 2³

Toda resolução de uma equação exponencial, parte da ideia de que se gere uma igualdade de potências de mesma base, como vemos na expressão acima. Depois que isso acontece, basta cancelar as bases e igualar os expoentes das potências. Pronto, temos o nosso resultado!

x = 3

Perfeito, não é mesmo? Pois então, se se tratasse de uma inequação exponencial, antes de cancelar as bases e igualar os expoentes, nós deveríamos ter prestado atenção em um detalhe: no valor numérico da base a.

A partir da reta real que vemos acima, podemos perceber que o valor numérico da base a pode se situar entre 0 e 1 e também pode ser maior que 1. Se ele for maior que 1, não há nenhum problema: quando nos depararmos com uma desigualdade de potências de mesma base, deveremos cancelar as bases, e manter o sinal de desigualdade entre elas em relação aos expoentes.

Agora, se o valor numérico da base ase situar entre 0 e 1, haverá uma pequena mudança: quando nos depararmos com uma desigualdade de potências de mesma base, deveremos cancelar as bases, e inverter o sinal de desigualdade entre elas em relação aos expoentes.

Viram como é fácil? Era isso que o quadro estava tentando nos dizer! Então, para não esquecer mais desse conceito, pode ser interessante memorizar a frase: “se a base for maior que 1, mantenha o sinal de desigualdade, mas se a base for um valor entre 0 e 1, inverta o sinal de desigualdade”.

É, pessoal, sempre que falamos em termos ou expressões matemáticas que possuem expoente, é muito provável que surja a necessidade de se utilizar as propriedades da potenciação. Por isso elas estão aí em cima, prontinhas para vocês aproveitarem! Agora, vamos partir para aquela bateria de exercícios em que poderemos aplicar todos os conceitos vistos até então. Vem comigo aqui!

O primeiro ponto importante a ser observado aqui, é que essa expressão possui um sinal de desigualdade (>), e também uma incógnita x no expoente. Isso significa, respectivamente, que temos a nossa frente uma inequação exponencial. 

Tudo o que estudamos até então, tem relação com o conceito de igualdade ou desigualdade entre potências de mesma base. Por isso, nossa primeira tarefa, será sempre fazer com que as bases das potências de ambos os lados da desigualdade possuam o mesmo valor. Ora, neste exemplo, temos uma base igual a 2, e outra igual a 32. Como 32 é muito maior que 2, é muito provável que ele possa ser escrito na forma de potência de base 2, e não o contrário. Para saber se isso é verdade, basta realizar a fatoração de 32.

Chegamos naquele ponto em que não dá para deixar de pensar um pouquinho. O número 2 é um valor maior que 1, portanto, podemos cancelar as bases e manter o sinal de desigualdade que havia entre elas em relação aos seus expoentes:

Pronto, acabamos de descobrir que qualquer valor real maior do que zero satisfaz nossa primeira inequação exponencial! E o mais interessante, é que essa solução também pode ser representada geometricamente, como mostra a imagem abaixo, ou então na forma de conjuntos, tal como aparece no quadro seguinte.

E aí, ficou clara a ideia? Não se preocupem, este é apenas o primeiro de muitos exemplos que estão por vir. Vamos ao próximo!

Observando a expressão acima, não há dúvidas de que se trata de uma inequação exponencial, não é mesmo? Pois é, temos a presença de um sinal de desigualdade (≥), e também de incógnitas x nos expoentes. Mas além de tudo isso, vejam, também encontramos uma fração de um dos lados da desigualdade! Sempre que isso acontecer, é muito provável que as propriedades da potenciação precisem entrar em ação! Assim, vamos utilizar a propriedade 6 (P6), disposta naquela tabela que acabamos de ver, para fazer com a fração ½ seja reescrita na forma de potência de base 2.

Vocês devem ter reparado, que o número 8 também pode ser reescrito na forma de potência de base 2, já que dois elevado ao cubo resulta em 8. Humm, estou pressentindo que estamos perto de uma desigualdade de potências de mesma base. Acompanhem comigo:

E não é que chegamos a dois casos de potência de potência? Não tem problema, a propriedade 3 pode nos ajudar a resolvê-los:

Mas que beleza! Novamente, a base de nossas potências é o numero 2, um valor maior do que 1. Por isso, podemos cancelar as bases e manter o sinal de desigualdade que havia entre elas em relação aos seus expoentes:

Pronto, temos a tão esperada solução para a questão! Vale lembrar, que a última inversão no sinal de desigualdade não tem nada a ver com a inequação exponencial, e sim com a inequação do primeiro grau que resolvemos depois que tínhamos em mãos apenas os expoentes das potências. Para saber mais sobre quando e como devemos multiplicar uma inequação do 1º grau por –1, basta acessar esse texto.

Feito, pessoal? Então se liguem só nesse exemplo que vamos resolver agora …

Vejam que essa inequação exponencial não parece ter muito mistério. Tudo se resume a dar um jeitinho naquele radical de índice 3, o que fica extremamente simples quando conhecemos a propriedade da potenciação de número 8 (P8), que se encontra na tabela lá em cima.

Reescrevendo o radical na sua forma de potência de expoente fracionário, chegamos a famosa potência de potência, na qual a propriedade 3 deve ser utilizada. Além disso, como sabemos que 3 elevado ao quadrado é igual a 9, podemos utilizar a propriedade 6 para chegarmos a tão esperada desigualdade de potências de mesma base:

E não é que a base das potências é novamente um valor maior que 1? Ótimo para nós, pois poderemos manter o sinal de desigualdade entre os expoentes:

Nosso último exemplo não poderia deixar de abordar os números decimais, não é mesmo? Em um caso como esse, é interessante reescrever esses números na sua forma de potência de base 10, prestando bastante atenção no seguinte detalhe: o número de casas que andamos após a vírgula reflete justamente no valor do expoente, que também será negativo, afinal, estamos andando para a direita da vírgula e não para a esquerda:

Reescrevendo esses valores na inequação, ficaremos diante de um dilema: seguir com a potência de base 10 com expoente negativo, ou então, utilizar a propriedade 6 para tornar o expoente dessas bases positivo. Por um motivo que logo ficará claro para vocês, nós vamos utilizar a segunda opção:

Entenderam a jogada? Pois então, parece que dessa vez nós chegamos a uma desigualdade de potências de mesma base, em que o valor dessas bases se encontra entre 0 e 1. Em casos como esse, nós cancelamos as bases e invertemos o sinal de desigualdade que se situava entre elas em relação aos expoentes:

Bem tranquilo, vocês não acham? Quem está acostumado com as inequações exponenciais, provavelmente percebeu que se continuássemos resolvendo esse último exemplo sem inverter as bases das potências, nós não precisaríamos ter invertido o sinal de desigualdade novamente segundo o conceito de inequação do 1º grau. Isso nos permite concluir uma coisa: existem infinitos jeitos de se resolver determinadas inequações exponenciais! Tudo que temos que fazer, é cuidar para deixar a mesma base dos dois lados da desigualdade, e aí dependendo do valor dessa base, é que manteremos ou não o sinal de desigualdade da inequação original!

Bom, parece que a missão desse texto foi cumprida! Por isso, nada mais justo do que encerrá-lo por aqui! Espero que vocês tenham aprendido bem todos os conceitos que vimos, e que eles possam ser úteis nos seus estudos! Em anexo, claro, fica aquele vídeo que complementa tudo que foi abordado. Quem ainda não está firme nas propriedades da potenciação, não vai querer perder as super dicas que eu explico por lá!

Um abraço a todos e até mais!