GRÁFICO DA FUNÇÃO EXPONENCIAL – PARTE 1

Olá pessoal! Tudo bem por aí?

Suponho que se vocês chegaram até aqui hoje, é porque estão interessados em descobrir como construir o gráfico de uma das mais fascinantes funções matemáticas: a função exponencial, aquela cuja variável se encontra no expoente! Pois é exatamente isso que vamos fazer! Vocês verão neste texto, que o gráfico da função exponencial possui algumas características que nos permitem esboçá-lo rapidamente, mesmo sem o auxílio da famosa “tabelinha”. Isso é muito importante, principalmente para quem está prestes a realizar as provas do ENEM e dos vestibulares, em que o tempo é crucial para um bom desempenho!

Falando em tempo, caso vocês estejam estudando para o ENEM ou para um determinado vestibular, mas não estão conseguindo se organizar e nem encontrar conteúdo de qualidade, eu tenho uma dica que pode mudar tudo isso: conheçam a plataforma do Professor Ferretto! Só lá vocês encontram todo o conteúdo da matemática e da física do ensino médio, sim, porque as aulas de física são um bônus para todos os alunos! E se vocês estão precisando dar aquela praticada resolvendo uma série de questões, comecem agora, porque na plataforma do Ferretto tem mais de 1000 questões do ENEM e de vestibulares disponíveis, e com resolução em vídeo, que acaba com todas as dúvidas. Gostaram da ideia? Então acessem o site, e confiram todos os planos de acesso!

Bom, chega de papo, já que temos muito conhecimento para produzir aqui. Pois bem, como foi dito logo acima, a incógnita da função exponencial deve se localizar no seu expoente, ou uma função como essa jamais poderia existir. Acontece que essa não é a única condição de existência dessa função. Ajustem agora seus holofotes para a base a da função exponencial.

É isso mesmo, a base da função exponencial possui algumas restrições! Se a não for um valor maior que zero (a > 0) e diferente de 1 (a ≠ 1), a função também não poderá existir. Assim, essas duas condições permitem que os valores de a se localizem apenas em duas regiões do eixo real, como vocês podem ver na figura abaixo:

Notem que a base a de uma função exponencial jamais pode ser um valor negativo, ou mesmo 0 e 1, porque temos duas bolinhas abertas para esses valores. Isso nos permite concluir que os valores possíveis de a são aqueles que se encontram entre zero e um (0 < a < 1), e também aqueles que são maiores que um, e vão em direção ao mais infinito (a > 1).

O fato é que eu não estaria aqui revisando tudo isso, se os valores que a base a pode assumir não fossem tão importantes para a construção dos gráficos da função exponencial. Vocês vão ver agora, através de dois exemplos, que a região em que o valor numérico de a se localiza, determina a configuração do gráfico da função.

O gráfico de uma função exponencial f(x) = a^x, com 0 < a ≠ 1, é chamado de curva exponencial.

Existe um método muito comum que nos permite traçar os gráficos das mais variadas funções matemáticas, e é claro, da curva exponencial, de uma forma muito simples: basta adotar uma série de valores para x e aplicá-los à função f(x) = a^x, de forma a obter os seus respectivos valores em y. Feito isso, é só montar uma tabelinha com todos os pares ordenados (x, y) encontrados, para em seguida, marcar esse conjunto de pontos no plano cartesiano, o que nos dará a ideia do formato gráfico da função exponencial.

Preparados? Então, acompanhem comigo aqui!

1.Construa o gráfico das seguintes funções:

a. f(x) = 2^x

A primeira coisa que precisamos reparar neste exemplo, é que a base a da função exponencial f(x) = 2^x vale 2, ou seja, a é um valor maior que 1 (a > 1). Vamos ver então, qual será o formato do gráfico dessa função, adotando alguns valores para x e aplicando-os na sequência a função f(x) = 2^x, de forma a descobrir os seus respectivos valores em y ou f(x). É claro que vocês podem escolher quaisquer valores positivos e negativos para x, mas aqui nós vamos atribuir os seguintes: –2, –1, 0, 1, 2, e 3. Acompanhem a construção da tabelinha e da representação gráfica dos pares ordenados encontrados nas figuras abaixo:

E aí, o que acharam da aparência da curva exponencial? Antes de seguirmos, é importante que vocês saibam o que aconteceria se continuássemos atribuindo valores para x que fossem menores do que – 2, e também valores que fossem maiores do que 3. Isso nos permitirá compreender qual é o formato característico do gráfico da função exponencial quando sua base é um valor maior que um (a > 1).

A imagem acima não deixa dúvidas: quando a base a da função exponencial é um valor maior que 1 (a > 1), na medida em que os valores de x aumentam, os seus respectivos valores em y também aumentam, tendendo ao mais infinito.

b. f(x) = (½) ^x

É claro que ao observamos a função desse exemplo, f(x) = (½) ^x, nós verificamos que a sua base a vale ½, ou seja, 0,5, um valor que está entre 0 e 1 (0 < a < 1). Isso nos mostra, de antemão, que o formato do gráfico dessa função será diferente do anterior, embora ainda não sabemos como. Assim, para averiguar essa situação, só nos resta escolher alguns valores para x e aplicá-los na função f(x) = (½) ^x, de forma a descobrir os seus respectivos valores em y ou f(x). Novamente, vocês poderiam escolher quaisquer valores positivos e negativos para x, mas aqui nós vamos atribuir os seguintes: –3, –2, –1, 0, 1, e 2. Acompanhem  a construção da tabelinha e da representação gráfica dos pares ordenados encontrados nas figuras abaixo:

Conseguiram descobrir a diferença dessa curva exponencial em relação a curva anterior? Tudo ficará ainda mais evidente quando fizermos mais uma análise, atribuindo valores para x que são menores do que –3 e também valores que são maiores do que 2. Isso nos permitirá compreender qual é o formato característico do gráfico da função exponencial quando sua base é um valor que se situa entre zero e um (0 < a < 1).

A imagem acima também não deixa dúvidas: quando a base a da função exponencial é um valor que se encontra entre zero e um (0 < a < 1), na medida em que os valores de x aumentam, os seus respectivos valores em y diminuem, tendendo ao valor zero.

Tudo o que aprendemos até aqui, nos permite tirar uma série de conclusões a respeito da representação gráfica da função exponencial. Essas conclusões são muito importantes, porque nos permitirão construir as mais variadas curvas exponenciais de uma maneira mais simples, sem o uso da tabelinha, como acabamos de ver. Além disso, parece que elas são muito cobradas nas provas de matemática dos vestibulares e do ENEM. Então, não sei o que ainda estamos esperando, vamos conhecê-las logo!

1. CONCLUSÕES ACERCA DA FUNÇÃO EXPONENCIAL f(x) = a^x

1.1 Domínio

Os elementos que pertencem ao domínio de uma função, são todos aqueles valores numéricos que podem ser atribuídos a x. Felizmente, a incógnita x se localiza no expoente da função exponencial, de forma que não existe qualquer restrição quanto aos valores que ela pode assumir. Isso nos mostra que o domínio da função exponencial é formado pelo conjunto dos números reais.

1.2 Contradomínio

O contradomínio de uma função qualquer, é formado pelos possíveis valores de y que poderão ser encontrados, quando valores de x forem atribuídos a essa função. Bom, se vocês observarem os valores de y encontrados nos gráficos que acabamos de construir, verão que eles são sempre positivos. Por isso, é comum afirmarmos que o contradomínio da função exponencial f(x) = a^x é formado pelo conjunto dos números reais positivos.

Acontece que essa é uma questão um tanto contraditória entre os autores. Isso porque, existem algumas variações da função exponencial que ainda não vimos, e contradomínio delas abrange também os números negativos. Assim, podemos afirmar que de maneira geral, o contradomínio da função exponencial é formado pelo conjunto dos números reais.

1.3 Imagem

Mas mais importante que o contradomínio, é a imagem de uma função. Ela é formada por todos os valores de y que realmente são encontrados quando seus respectivos valores em x são atribuídos a função. Observando a projeção dos gráficos na direção do eixo y na imagem acima, nós vemos que todos os valores positivos de y rumo ao mais infinito fazem parte da imagem da função exponencial! E é aí que mora um detalhe muito interessante. Vocês viram a análise que fizemos para os dois gráficos que construímos neste texto. Em ambos os casos, por maiores ou menores que fossem os valores de x que atribuímos a função, eles jamais resultaram em um valor de y que fosse igual a zero. JAMAIS!

Isso justifica porque, nas duas representações, a curva foi se aproximando cada vez mais do eixo x sem nunca tocá-lo. E a explicação para esse fenômeno é lógica: se a base a da função exponencial não pode ser zero, jamais haverá no mundo um valor para o expoente x que faça com que o resultado dessa potência seja puramente zero. É por isso que o zero não faz parte da imagem da função exponencial f(x) = a^x, o que explica a bolinha aberta que é representada nos dois gráficos acima.

1.4 Ponto em que o gráfico corta o eixo y

Ambas as curvas exponenciais que construímos cortaram o eixo y exatamente no ponto (0, 1). Isso sempre irá acontecer para uma função f(x) = a^x, porque quando um ponto qualquer se localiza exatamente sobre o eixo das ordenadas ou eixo y, ele tem a configuração (0, y), ou seja, o valor atribuído a x nesse ponto, é exatamente igual a zero. Só que na função exponencial, a incógnita x encontra-se no expoente, e qualquer número elevado a zero é igual a um (a⁰=1). Bom, se qualquer número elevado a zero resulta no valor 1, não importa o valor que a base a assumir, quando x for substituído por zero, o seu respectivo valor em y será 1.

1.5 Quadrantes onde o gráfico se localiza

Nós vimos no item 1.3, que a curva exponencial jamais toca o eixo x, embora fique muito próxima a ele. Assim, se ela nunca corta o eixo x, é fato que ela jamais passará pelos quadrantes III e IV do plano cartesiano, se localizando inteiramente nos quadrantes I e II.

1.6 Função decrescente e crescente

Certamente, o item mais interessante ficou para o final. Bom, nós fizemos uma série de análises nas duas curvas exponenciais que construímos. Na primeira delas, quando o valor da base a era maior do que um (a > 1), foi constatado que na medida em que os valores de x aumentavam, os seus respectivos valores em y também aumentavam. Em um caso como esse, diz-se que a função exponencial é crescente.

Já na segunda análise, quando o valor da base a se encontrava entre zero e um (0 < a < 1), foi constatado que na medida em que os valores de x aumentavam, os seus respectivos valores em y diminuíam. Em um caso como esse, diz-se que a função exponencial é decrescente.

Diante de todas essas conclusões, construir uma curva exponencial é quase uma receita de bolo. Vocês já sabem que independente do valor que a base a assumir, o gráfico cortará o eixo y no ponto (0,1). Depois, é necessário reparar no valor da base a, porque se ele for maior que um (a > 1) a função será crescente, mas se ele se encontrar entre zero e um (0 < a < 1), a função será decrescente. Aí basta descobrir mais um ou dois pontos quaisquer, de cabeça mesmo, para dar maior definição ao formato da curva. Pronto, vocês terão construído um gráfico em poucos minutos!

Querem um exemplo disso? Então assistam o vídeo que estou deixando em anexo! Lá vocês também encontram uma explicação que complementa tudo o que vimos aqui no texto, em que a construção das tabelinhas para os gráficos é abordada com mais detalhes. E se mesmo assim a construção de gráficos ainda for dúvida para vocês, é só dar uma olhada no texto Noções Básicas de Plano Cartesiano, que eu garanto: as dúvidas irão embora!

E eu fico por aqui! Espero que o assunto de hoje tenha sido muito proveitoso para os seus estudos, e que vocês tenham gostado da abordagem! Se desejarem, deixem seus comentários sobre o texto aí embaixo, e não esqueçam: tem muita matemática a ser explorada aqui no blog!

Um forte abraço e bons estudos a todos!