FUNÇÃO MODULAR

Olá pessoal, tudo bem por aí?

Depois de estudarmos como calcular o módulo de um número real e também todas as suas propriedades, finalmente é chegada a hora de aprendermos tudo sobre a função modular em si! No texto de hoje, abordaremos a definição de uma função modular, e algo ainda mais interessante: como construir o gráfico dessa função. Vocês costumam representar os gráficos das mais diversas funções depois de construir uma tabelinha com alguns valores? Pois no texto de hoje, nós vamos aprender um método muito mais simples e fascinante, que utiliza o conceito de translação. Portanto, se vocês pretendem realizar alguns vestibulares, ou são estudantes de matemática do nível superior, eu aviso: esse texto será muito proveitoso para os seus estudos!

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Vamos começar? Peguem todo o seu material de estudo, porque aí vem a definição de uma função modular…

1. DEFINIÇÃO DA FUNÇÃO MODULAR

Denomina-se função modular a função f: ℝ → ℝ, tal que f(x) = | x |, ou seja:

A primeira informação na qual devemos prestar atenção, é que a função modular é dita como uma função f: ℝ → ℝ. Isso significa que o domínio ou conjunto de partida, e que o contradomínio ou conjunto de chegada da função modular é conjunto dos números reais. Desta forma, podemos afirmar que números positivos, negativos, frações, dízimas periódicas, raízes não exatas e todo e qualquer número real pode fazer parte do domínio e do contradomínio desta função, sem que haja qualquer restrição.

Reparando agora na sentença apresentada no quadro, nós vemos que a definição de uma função modular é muito parecida com a definição de módulo real em si. E tudo que envolve módulo, deve resultar necessariamente em valores positivos. É por isso que quando se trata de uma função modular, f(x) será exatamente igual a x caso os valores de x forem maiores ou iguais a zero, mas irá assumir um valor igual a –x para valores de x menores do que zero, ou seja, para valores negativos.

Em outras palavras, se os valores de x ou do domínio da função forem positivos ou iguais a zero, os valores da imagem ou de f(x), serão exatamente iguais a eles. Contudo, se os valores de x ou do domínio forem negativos ou menores do que zero, os valores da imagem ou de f(x), serão os mesmos em módulo, mas terão o sinal oposto aos valores de x. É como se nesse caso, os valores de f(x) fossem os valores de x multiplicados por “–1”.

A verdade pessoal, é que não podemos confundir domínio e contradomínio de qualquer função com a sua imagem! Qualquer número real pode, sem dúvida alguma, fazer parte do domínio e do contradomínio de uma função modular, mas o conjunto imagem desta função terá sempre um intervalo definido, como veremos mais a frente.

A teoria em forma de texto pode soar bastante confusa, não é mesmo? Mas tudo vai ficar mais claro a partir de agora, porque nós vamos representar graficamente a função f(x) = |x|. Faremos isso primeiramente através do método mais usual, aquele em que montamos uma tabelinha com alguns valores de x e seus respectivos valores em y ou f(x), antes de traçarmos os pontos encontrados no plano cartesiano. Então, não perde tempo e vem comigo aqui!

2. GRÁFICO DE UMA FUNÇÃO MODULAR

Todo gráfico é composto por uma série de pontos, os quais possuem coordenadas no eixo x, ou eixo das abscissas, e no eixo y, ou eixo das ordenadas. Portanto, para montar o gráfico de uma função modular, basta adotar alguns valores para x e aplica-los à função f(x) = | x |, de forma a obter os seus respectivos valores em y. Feito isso, é só montar uma tabelinha com todos os pares ordenados encontrados, o que facilita bastante a representação gráfica no plano cartesiano.

No caso do gráfico de uma função afim, por exemplo, é muito comum obtermos apenas 2 ou 3 pontos, e isso já é suficiente para entendermos o comportamento da reta formada. Mas no caso da função modular, é muito provável que somente com 2 ou 3 pontos aleatórios, seja difícil representar exatamente o formato característico da função, uma espécie de “v”, como o que vemos na figura acima. Por isso, é interessante adotar sempre valores de x que sejam positivos, negativos, e claro, o próprio número zero. Assim, vamos adotar aqui os seguintes valores: –2, –1, 0, 1 e 2.

Observem na tabela acima, que quando valores positivos e o valor zero assumiram o lugar de x, os valores de y encontrados foram exatamente os mesmos (0, 1 e 2). Contudo, quando valores negativos assumiram o lugar de x, os valores encontrados em y foram os mesmos em módulo, mas com sinal oposto, ou contrário (1 e 2). Bom, chegou a tão esperada hora de representarmos todos esses pontos encontrados no plano cartesiano. Vejam só como ficou:

Agora que já conhecemos o gráfico característico de uma função modular, vamos aproveitar essa representação para fazer algumas considerações bem importantes: através deste gráfico, é possível obter o domínio e a imagem da função! Para isto, primeiramente, é imprescindível sabermos que o eixo x sempre fará referência ao domínio da função, e que o eixo y sempre fará referência a sua imagem. Assim, para obtermos o domínio da função modular, basta projetarmos o gráfico em direção ao eixo x, como se o gráfico estivesse fazendo sombra sobre o eixo x.

Vejam que para infinitos valores de x, sempre existirá um respectivo valor em y, e aí fica comprovado que o domínio da função modular é mesmo o conjunto dos números reais. Mas o contrário não acontece, ou seja, nem todo valor em y possui um respectivo valor em x. É isso que vocês vão descobrir quando obterem a imagem da função modular, projetando agora, o gráfico em direção ao eixo y, como se o gráfico estivesse fazendo sombra sobre esse eixo.

Pois bem, é por isso que como já foi mencionado no texto, o conjunto imagem da função modular não é composto por todos os números reais, mas terá sempre um intervalo definido. Projetando o gráfico na direção do eixo y, nós descobrimos que a imagem desta função inicia em zero, ou seja, inclui o zero, e vai em direção ao mais infinito, formando o intervalo [0, +∞). Esse intervalo acaba por representar exatamente o conjunto dos números reais não negativos.

Felizmente ou infelizmente para nós, é fato que uma função modular nem sempre será dada na forma f(x) = |x|. É muito provável que alguns termos a acompanhem, somando ou subtraindo a incógnita x dentro e fora do módulo. Mas caso isso aconteça, saibam que não é necessário montar uma nova tabelinha para saber como representar a nova função na forma de gráfico. Vou mostrar para vocês agora, como é possível traçar os mais variados gráficos de função modular com relação ao gráfico base que acabamos de montar. Acompanhem comigo aqui!

3. CONSTRUÇÃO DE GRÁFICOS UTILIZANDO A TRANSLAÇÃO

Segundo a física, translação é o movimento de um sistema físico no qual todos os seus componentes se deslocam paralelamente e mantém as mesmas distâncias entre si. Podemos trazer esse conceito para a construção do gráfico de uma função modular: promover a translação deste gráfico, em relação ao gráfico base, significa mover ou deslocar todos os seus pontos de forma horizontal e/ou vertical, tudo de acordo com o valor do termo que se encontra somando ou subtraindo a variável x dentro e/ou fora do módulo.

Se esse parágrafo não fez sentido algum para vocês, eu peço, mantenham a calma! Vamos estudar cada uma das translações possíveis em meio a diversas figuras e exemplos. Olhem só:

O gráfico de uma função modular de forma f(x) = | x | + a, terá uma translação vertical em relação ao gráfico base, ou seja, todos os seus pontos serão movimentados a uma distância a do gráfico base, na direção positiva do eixo y.

O gráfico de uma função modular de forma f(x) = | x | – a, terá uma translação vertical em relação ao gráfico base, ou seja, todos os seus pontos serão movimentados a uma distância a do gráfico base, mas na direção negativa do eixo y.

O gráfico de uma função modular de forma f(x) = |x + a|, terá uma translação horizontal em relação ao gráfico base, ou seja, todos os seus pontos serão movimentados a uma distância a do gráfico base, na direção negativa do eixo x.

O gráfico de uma função modular de forma f(x) = |x – a|, terá uma translação horizontal em relação ao gráfico base, ou seja, todos os seus pontos serão movimentados a uma distância a do gráfico base, mas na direção positiva do eixo x.

Viram que interessante? O que vocês não podem deixar de notar aqui, é que quando a função f(x) = |x|, é acompanhada por um termo que se encontra fora do módulo, a translação será vertical. Do contrário, ou seja, se a função f(x) = |x| for acompanhada por um termo que se encontra no interior do módulo, então a translação será horizontal. Agora, quem determina a distância dessa translação, e se ela ocorre para o sentido positivo ou negativo dos eixos coordenados x e y, é exclusivamente o valor numérico e o sinal positivo ou negativo do termo a. Vamos representar alguns exemplos para tornar tudo mais claro!

Construa o gráfico das seguintes funções:

a. f(x) = | x |+ 3

Vejam que o termo que acompanha a função f(x) = | x | se encontra fora ou na parte externa do módulo. Isso nos mostra que a translação será vertical. Como nesse caso o termo a é de valor +3, ou seja, é um valor positivo, a translação vai se direcionar 3 unidades para cima, ou em direção ao sentido positivo de y. Utilizem sempre o vértice da função como base para realizar o deslocamento do gráfico.

b. f(x) = | x | – 2

Neste caso, o termo que acompanha a função f(x) = | x | também se encontra fora ou na parte externa do módulo. Isso nos mostra que a translação será vertical. Mas agora, o termo a é de valor – 2, ou seja, é um valor negativo, e por isso a translação vai se direcionar 2 unidades para baixo, ou em direção ao sentido negativo de y.

c. f(x) = | x – 1|

Neste exemplo, o caso é um pouco diferente: o termo que acompanha a função f(x) = | x | se encontra no interior do módulo. Isso nos mostra que a translação será horizontal. Como o termo a é de valor – 1, ou seja, é um valor negativo, a translação vai se direcionar 1 unidade para a direita, ou em direção ao sentido positivo de x. Parece que seria ao contrário, não é mesmo? Mas é exatamente isso: um valor negativo, leva a translação horizontal a ocorrer para o sentido positivo do eixo x.

d. f(x) = | x + 2 |

Neste item, temos um termo que acompanha a função f(x) = | x | que também se encontra no interior do módulo. Isso nos mostra que a translação será horizontal. Mas como o termo a é de valor +2, ou seja, é um valor positivo, dessa vez a translação vai se direcionar 2 unidades para a esquerda, ou em direção ao sentido negativo de x.

e. f(x) = | x – 2 | + 1

E aí, o que acharam deste último exemplo? Parece complicado, mas eu garanto, é só realizar os dois tipos de translação. Comecem sempre pela horizontal, que nesse caso ocorre 2 unidades para a direita, ou para o sentido positivo de x, e depois vão para a vertical, que aqui, ocorre 1 unidade para cima, ou para o sentido positivo de y.

Pessoal, a função modular nos proporciona simplesmente uma infinidade de possibilidades de representação, e por isso, infelizmente não poderei mostrar todas elas aqui. Então, mais do que nunca eu recomendo que vocês deem uma olhada no vídeo que estou deixando em anexo. Lá vocês verão tudo sobre o domínio, o contradomínio e a imagem das funções que representamos, além de conceitos de simetria, e também poderão acompanhar o que acontece quando precisamos representar o módulo de uma função modular e de outros tipos de função, como a função quadrática. Eu garanto que as representações dessas funções geram figuras bem engraçadas!

E no mais, espero que vocês tenham gostado do assunto, e que possam utilizar todas as dicas sempre que precisarem! Um forte abraço e sigam firmes nos estudos!