Critérios de divisibilidade por 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 e 11 são regras que permitem verificar se um número inteiro é divisível por estes números sem deixar resto. Conhecendo esses critérios, é possível agilizar muito algumas divisões, principalmente aquelas que envolvem números grandes.

Olá, pessoal! Tudo bem com vocês?

Hoje é o dia de aprendermos como definir se um número inteiro qualquer, seja ele grande ou pequeno, é divisível por 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, ou 11! Para isso, nós iremos estudar os critérios de divisibilidade, ou seja, as regras que definem em que casos um número pode ser dividido por esses algarismos sem deixar resto. Esse conteúdo é bastante simples, mas extremamente importante para quem vai prestar alguns vestibulares, e principalmente para quem fará a prova do ENEM!

Então, vamos começar? Veremos agora cada um dos critérios de divisibilidade separadamente, e com a ajuda de alguns exemplos. Vem comigo aqui!

1. DIVISIBILIDADE POR 2

Todos os números pares, ou seja, aqueles terminados em 0, 2, 4, 6, e 8, são divisíveis por 2.

São alguns exemplos:

368 é divisível por 2 porque termina com o número 8, o que o caracteriza como sendo um número par.

4560 termina com 0, portanto, também é um número par e divisível por 2.

37 não é divisível por 2, pois termina com 7, portanto, não é um número par.

2. DIVISIBILIDADE POR 3

Um número é divisível por 3 quando a soma dos seus algarismos resultar em um número divisível por 3.

Assim, sempre que precisarmos avaliar se um número é divisível por 3, o primeiro passo é somar todos os algarismos desse número. Vamos a alguns exemplos:

3471 é divisível por 3, pois a soma de seus algarismos resulta em 15 (3 + 4 + 7 + 1 = 15), que é divisível por 3 (15 ÷ 3 = 5).

12937 não é divisível por 3, pois a soma de seus algarismos resulta em 22 (1 + 2 + 9 + 3 + 7 = 22), que não é divisível por 3.

3. DIVISIBILIDADE POR 4

Um número é divisível por 4 quando os dois últimos algarismos formarem um número divisível por 4.

Isso significa, basicamente, que o que realmente importa são os dois últimos algarismos de cada número, independente se ele for grande ou não. Vejam só:

578428 é divisível por 4 porque os seus 2 últimos algarismos formam o número 28, que é divisível por 4 (28:4 = 7).

3748900 é divisível por 4, porque seus 2 últimos algarismos são 00, e zero pode ser dividido por qualquer número que não seja zero sem deixar resto (0:4 = 0).

Atenção! É possível dividir o número zero por qualquer outro número, menos por ele mesmo. Uma divisão de zero por zero é o que chamamos de indeterminação matemática.

Entendido, pessoal? Essa informação é bem importante! Sendo assim, seguimos para o próximo exemplo:

3750742 não é divisível por 4, porque seus 2 últimos algarismos formam o número 42, que não é divisível por 4 (42:4 = 10,5). Claro, a divisão de 42 por 4 é possível, só que o resultado dela é um número decimal, e para fins de divisibilidade, precisamos de resultados que sejam inteiros.

4. DIVISIBILIDADE POR 5

Um número é divisível por 5 quando o seu último algarismo for zero ou 5.

Nesse caso, é necessário prestar atenção apenas no último algarismo de cada número, mesmo que o número como um todo seja enorme. Acompanhem como isso se aplica:

854189035 é divisível por 5, pois seu último algarismo é 5.

45914703 não é divisível por 5, porque seu último algarismo não é 0 e nem 5.

5. DIVISIBILIDADE POR 6

Um número é divisível por 6 somente se for divisível por 2 e por 3.

Vejam pessoal, que a divisibilidade por 6 nos leva a divisibilidade por 2 e a divisibilidade por 3. Isso significa que devemos prestar muita atenção no significado da conjunção “e”. O número que avaliarmos deve ser divisível por 2 e por 3, porque se for divisível somente por 2 ou somente por 3, não será divisível por 6.

Assim, tendo em vista que a divisibilidade por 2 nos leva a números pares, o primeiro passo para determinar se um número é divisível por 6 é verificar se esse número é par. Caso a resposta seja “sim”, resta-nos somar todos os algarismos desse número para verificar se ele também é divisível por 3. Se tudo der certo, teremos um número divisível por 6. Observem comigo!

53427 não é divisível por 6, porque é um número ímpar, ou seja, não é divisível por 2 – em casos como esse, não é necessário somar os algarismos e verificar a divisibilidade por 3.

106424 não é divisível por 6, pois apesar de ser um número par, e, portanto, divisível por 2, a soma de seus algarismos resulta em 17 (1 + 0 + 6 + 4 + 2 + 4 = 17), e 17 não é divisível por 3.

812472 é divisível por 6, porque é um número par, ou seja, é divisível por 2 e porque a soma de seus algarismos resulta em 24 (8 + 1 + 2 + 4 + 7 + 2 = 24), e 24 é divisível por 3 (24:3 = 8).

6. DIVISIBILIDADE POR 7

No fim do ano de 2019, um jovem nigeriano chamado Chika Ofili, na época com 12 anos, descobriu um critério de divisibilidade por 7 muito simples e prático. Acompanhem comigo a descrição deste critério:

Um número é divisível por 7, quando a soma entre o último algarismo desse número multiplicado por 5 e o número formado pelos demais algarismos desse número resultar em um múltiplo de 7.

Para que essa descrição fique mais clara, analisem comigo os seguintes exemplos:

532 é divisível por 7, pois a soma entre 53 e a multiplicação de 2 por 5 (2 x 5 = 10), resulta em 63 (53 + 10 = 63), um múltiplo de 7.

Incrível, não é mesmo? Se 63 é um múltiplo de 7, 532 certamente também é. Reparem que neste exemplo, nós encontramos como resultado o número 63, que é visivelmente um múltiplo de 7, pois está na tabuada do 7. Vamos descobrir agora, se 987 é um número divisível por 7. Fiquem atentos ao que irá acontecer.

E aí, 133 é um múltiplo de 7? Se vocês não souberem responder essa pergunta, repitam o procedimento até encontrar (ou não) um múltiplo de 7 conhecido.

987 é divisível por 7, pois a soma entre 98 e a multiplicação de 7 por 5 (7 x 5 = 35), resulta em 133 (98 + 35 = 133), e a soma entre 13 e a multiplicação de 3 por 5 (3 x 5 = 15), resulta em 28 (13 + 15 = 28), um múltiplo de 7.

Pois bem, parece que para utilizar esse critério, precisamos conhecer os principais múltiplos de 7. Por isso, deixo para vocês uma tabelinha com a tabuada do 7. Assim, fica mais fácil de memorizar todos esses valores.

7. DIVISIBILIDADE POR 8

Um número é divisível por 8 quando os seus três últimos algarismos formam um número divisível por 8.

Percebam que esse critério é muito parecido com o critério de divisibilidade por 4. Neste caso, devemos prestar bastante atenção nos três últimos algarismos dos números que avaliarmos. Acompanhem o exemplo comigo!

3958743328 é divisível por 8, pois o número formado por seus 3 últimos algarismos é divisível por 8 (328:8 = 41).

8. DIVISIBILIDADE POR 9

Um número é divisível por 9, se a soma dos seus algarismos gerar um número divisível por 9.

Observem a semelhança que esse critério tem com o critério de divisibilidade por 3. Só que agora, precisamos verificar se a soma dos algarismos do número que avaliarmos é divisível por 9. Vamos lá!

4901067 é divisível por 9, pois a soma de seus algarismos resulta em 27 (4 + 9 + 0 + 1 + 0 + 6 + 7 = 27), que é divisível por 9 (27:9 = 3).

307410541 não é divisível por 9, pois a soma de seus algarismos resulta em 25(3 + 0 + 7 + 4 + 1 + 0 + 5 + 4 + 1 = 25), que não é divisível por 9.

9. DIVISIBILIDADE POR 10

Um número é divisível por 10 quando o seu último algarismo for zero.

O critério de divisibilidade por 10 é um dos mais simples de memorizar, não é mesmo? Quando um número termina com zero, sabemos que ele é divisível por 10, como nos casos abaixo:

930

540

680

10. DIVISIBILIDADE POR 11

Um número é divisível por 11, se a soma alternada de seus algarismos resultar em um valor divisível por 11.

Realizar uma soma alternada entre os algarismos de um número significa basicamente inserir sinais de soma e subtração alternados entre estes algarismos iniciando sempre pela esquerda e com o sinal positivo. Vamos somar alternadamente o número 935 para vocês entenderem essa ideia direitinho.

+ 9 – 3 + 5 = 11

Reparem que o resultado da soma alternada que acabamos de realizar foi 11. Com toda a certeza 11 é divisível por 11, não é mesmo? Portanto, 935 também é!

Vamos aos nossos últimos exemplos:

90832071 é divisível por 11, pois a soma alternada de seus algarismos resulta em 22 (+ 9 – 0 + 8 – 3 + 2 – 0 + 7 – 1 = 22), que é um número divisível por 11 (22:11 = 2).

2357014982 não é divisível por 11, pois a soma alternada de seus algarismos resulta em – 3 (+ 2 – 3 + 5 – 7 + 0 – 1 + 4 – 9 + 8 – 2 = – 3), que não é um número divisível por 11.

Finalizando com uma super dica ninja!

Pessoal, nós ainda poderíamos ver uma série de critérios de divisibilidade, tais como divisibilidade por 12, 15 e por aí vai. Contudo, para que vocês não precisem memorizar uma série de regras, tentem pensar na seguinte lógica: para ser divisível por 12, por exemplo, um número deve ser divisível por 3 e por 4, já que o produto entre 3 e 4 resulta em 12. O mesmo é válido para a divisibilidade por 15, ou seja, se um número é divisível por 5 e por 3, então será divisível por 15, afinal 5 ∙ 3 = 15. Tentem aplicar essa ideia em outros números, pois acreditem, esse método funciona!

Assim, encerramos mais um texto! Espero que todos os critérios que abordamos aqui tenham ficado claros, e que vocês possam fazer uso deles sempre que precisarem! Deixo em anexo um vídeo, para vocês revisarem os critérios e memorizarem tudo facilmente.

E se você gostou do texto, aproveito também para deixar o seguinte convite: clique aqui para saber como a plataforma do Professor Ferretto funciona!

Deseja ter uma preparação completa em matemática e ciências da natureza? Então conheça os planos e cursos da plataforma do Professor Ferretto. Clique aqui e vem com a gente garantir a sua vaga no ensino superior!

Um grande abraço e muito sucesso! Até breve, pessoal!