O complementar de um conjunto B em relação a um conjunto A, nada mais é do que a diferença entre os conjuntos A e B (A – B).

Olá, pessoal! Tudo tranquilo?

Vamos começar este texto com uma pergunta: o que significa “complementar” algo? Não parece, mas o significado dessa palavra pode nos ajudar a entender mais uma operação entre conjuntos. Depois da superdica que será apresentada daqui a pouco, eu garanto que vocês jamais esquecerão como obter o complementar de um conjunto em relação a outro!

Certo, pessoal? Então não nos resta outra opção se não iniciarmos o texto. Vem comigo!

1. DEFINIÇÃO DE COMPLEMENTAR DE UM CONJUNTO

Dados dois conjuntos A e B, tais que B ⊂ A, chama-se complementar de B em relação a A, o conjunto A – B.

O primeiro fato ao qual devemos ficar atentos nessa definição, é que existe uma condição para que um conjunto complementar a outro exista. São dados dois conjuntos A e B, tais que B ⊂ A.  Em símbolos, isso significa que, necessariamente, para que haja o cálculo do conjunto complementar de B em relação a A, B deve estar contido em A, ou seja, B deve ser subconjunto de A. Então, pessoal, caso vocês se deparem com conjuntos disjuntos, ou ainda, com conjuntos que possuem apenas alguns elementos em comum, não será possível obter o conjunto complementar de um deles em relação ao outro. Esse é um conceito que diz respeito apenas a uma relação de conjunto e subconjunto!

Quem reparou no quadro apresentado logo acima no texto, percebeu que existe uma maneira curiosa de representar o conjunto complementar de B em relação a A. Não parece, mas a ordem em que B e A são representados junto ao símbolo importa. Se nos referirmos ao complementar de B em relação a A, então o B ficará acima do A no símbolo. Do contrário, ou seja, se o complementar de A em relação a B for representado, então é claro que A ficará acima de B no símbolo, e pronto. Lembrando, é claro, que para encontramos o complementar de A em relação a B, A deve ser subconjunto de B (A ⊂ B).

Falamos da restrição, da representação, e agora, precisamos entender de fato como obter o complementar de um conjunto. Pela definição, e através dos quadros acima, sabemos que se trata de uma operação de diferença entre conjuntos. Vamos relembrar na sequência como resolvê-la. Sigam comigo!

2. COMPLEMENTAR DE UM CONJUNTO NA PRÁTICA

O complementar de B em relação a A é o conjunto A – B. Isso porque, em termos de símbolo, para obtermos a operação de diferença que devemos realizar, é só manter o conjunto que está embaixo no símbolo, e descontar dele o conjunto que está em cima.

Na prática, quando realizamos a operação A – B, obtemos como resultado um conjunto formado pelos elementos que pertencem a A mas não pertencem a B. Em outras palavras, o conjunto diferença entre A e B é formado por elementos que pertencem exclusivamente a A, quando comparados com os elementos de B.

Querem ver como funciona? Não há melhor maneira de entendermos o caso do que utilizando um exemplo resolvido. Vamos lá!

2.1 Entendendo o complementar de um conjunto com um exemplo

Sendo A = {5, 6, 7, 8, 9, 10} e B = {5, 10}. Calcule o complementar de B em relação a A.

Obter o conjunto complementar de B em relação a A, ou a diferença entre A e B, é fácil, pessoal! Basta observar os elementos que pertencem a B, e descontá-los, tirá-los, ou riscá-los do conjunto A. Os elementos que restarem formarão o conjunto complementar que tanto buscamos.

Reparem que o resultado obtido acima, é um conjunto formado por elementos que pertencem apenas a A. É por isso que falamos anteriormente em elementos exclusivos de A. Caso vocês estejam confusos quanto a operação que realizamos, é só dar uma olhada no texto Diferença entre dois Conjuntos. Lá eu resolvo uma série de exemplos como esse, que tornam o conceito muito mais claro.

Pessoal, é aí que entra a dica que eu mencionei lá no início do texto. Sigam comigo até o próximo item!

3. DICA NINJA DO FERRETTO

Para quem ainda não foi lá no dicionário e descobriu o que significa complementar, chegou a tão esperada dica ninja de hoje! Complementar algo significa preencher o que falta a esse algo. Trazendo essa ideia para o contexto de conjuntos, o complementar de B em relação a A, é tudo o que falta para B se tornar A! Da mesma forma, o complementar de A em relação a B, é tudo que falta para A se tornar B. Aí a nomeação do conjunto faz todo o sentido!

As representações em forma de diagrama da imagem acima tornam o conceito muito mais claro, não é mesmo? Reparem no diagrama mais a esquerda, que representa o complementar de B em relação a A. Nele, fica evidente que B é subconjunto de A, e que a região destacada é aquela em que se localizam os elementos exclusivos de A. Se esses elementos também fizessem parte do conjunto B, B seria igual a A.

O mesmo pode ser observado no diagrama a direita, que representa o complementar de A em relação a B. Agora, A é subconjunto de B, e se todos os elementos exclusivos de B, que se localizam na região destacada, também fizessem parte de A, A seria igual a B.

Entendido? Então, partindo desse novo ponto de vista, faremos alguns exercícios para consolidar o conhecimento. Vem comigo aqui!

4. EXERCÍCIOS RESOLVIDOS SOBRE O COMPLEMENTAR DE UM CONJUNTO

Dados os conjuntos A e B abaixo, calcule o complementar daquele que for conveniente.

a. A = {0, 2, 4, 6, 8} e B = {0, 4, 8}

O primeiro passo para resolver essa questão, pessoal, consiste em verificar qual dos conjuntos é subconjunto do outro. Nesse sentido, é fato que todos os elementos de B também pertencem a A. Sendo B um subconjunto de A, está decidido: obteremos o complementar de B em relação a A!

Observando a resolução deste último exemplo, vocês conseguiram perceber que são justamente os elementos 2 e 6 que faltam ao conjunto B para que ele se torne o conjunto A? Por isso, o conjunto {2, 6} é o complementar de B em relação ao conjunto A! Abaixo, segue a representação em diagrama do caso.

b. A = ø e B = {1, 2, 3}

E agora, pessoal, qual dos conjuntos acima é subconjunto do outro? O símbolo “ø” representa um conjunto vazio, ou seja, que não possui nenhum elemento. Sabendo que o conjunto vazio está contido em qualquer conjunto, podemos concluir que A é subconjunto de B, e, portanto, obteremos o complementar de A em relação a B.

Se A não possui nenhum elemento, é fato que faltam todos elementos do conjunto B para que ele possa ser igual a B. Por isso, nesse caso, o complementar de A em relação a B é o próprio conjunto B.

Finalizando o texto com alegria!

E aí, pessoal, gostaram do texto de hoje? Vamos encerrá-lo por aqui, mas não há motivos para se lamentar. Em anexo, deixo um vídeo para que vocês revisem a diferença entre os conjuntos, e também a operação que acabamos de aprender. No mais, desejo muito sucesso a todos! Com empenho e dedicação podemos chegar aonde desejarmos!

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Bons estudos a todos! Até mais!