APLICANDO AS PROPRIEDADES OPERATÓRIAS DOS LOGARITMOS

As 3 propriedades operatórias dos logaritmos são conhecidas como logaritmo do produto, logaritmo do quociente e logaritmo da potência. Essas propriedades são bastante interessantes, já que podem tornar muito mais simples a resolução de exercícios que envolvem expressões logarítmicas!

Olá, pessoal! Tudo bem?

Vocês devem estar lembrados que nós já estudamos aqui no blog as famosas propriedades operatórias dos logaritmos. Através delas, é possível transformar, por exemplo, o logaritmo de um produto em uma soma de dois logaritmos, assim como o logaritmo de um quociente em uma diferença entre dois logaritmos, e vice-versa. Mas conhecer as regras é fácil, não é mesmo? Difícil é aplicar esses conceitos nos exercícios do ENEM e dos vestibulares. Por isso, no texto de hoje, nosso foco é resolver vários exemplos que poderão lhes ajudar a enfrentar os desafios logarítmicos que vierem logo mais!

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Feito, pessoal? Já que a ideia é aplicar as propriedades operatórias dos logaritmos, precisamos começar revisando todas elas. Fiquem de olho no quadro abaixo:

Vejam que quando encontramos um produto ou uma multiplicação entre dois números b e c no logaritmando de um logaritmo, podemos reescrever a expressão através de uma soma de dois logaritmos de mesma base a. Algo parecido pode acontecer quando nos deparamos como uma divisão, ou com um quociente entre dois números b e c no logaritmando de um logaritmo: nesse caso, a expressão pode ser reescrita como a diferença entre dois logaritmos de mesma base a.

Já quando se tem uma potência no logaritmando de um logaritmo, a ideia é um pouquinho diferente: reparem que o expoente dessa potência pode “pular” para a frente do logaritmo, e assim, multiplicá-lo com um todo. Contudo, exatamente como nas propriedades anteriores, vejam que não tem jeito, a base a sempre será mantida.

Pessoal, eu sei que soa repetitivo falarmos tanto do que acontece com a base dos logaritmos nas suas propriedades operatórias. Mas o que talvez vocês não saibam, é que também podemos realizar o processo contrário ao que temos estabelecido. Ao encontrar uma soma entre dois logaritmos de mesma base, por exemplo, vocês podem transformar a expressão em um único logaritmo, cujo logaritmando será representado por um produto. Só que se essa soma de logaritmos não for formada por logaritmos de mesma base, não haverá nada que possa ser feito. E é aí que as conhecidas pegadinhas dos vestibulares podem literalmente pegar vocês!

Além disso, também não podemos esquecer que o logaritmo é a operação inversa da exponenciação. Por esse motivo, é muito provável que precisaremos recorrer, nas resoluções de exercícios que faremos logo mais, às propriedades da potenciação. Então, para não perdermos mais tempo, aí vão elas:

Beleza, pessoal? Agora eu acredito que estamos prontos para partirmos para os nossos exemplos práticos. Venham comigo!

1. Determine o desenvolvimento logarítmico da expressão .

O primeiro detalhe no qual devemos ficar atentos nesse exercício, é que tudo que está dentro dos parênteses faz parte do logaritmando do logaritmo que foi apresentado. Nesse logaritmando, nós temos um quociente, em que o numerador é formado por um produto, e o denominador é formado por uma potência. Opa, quociente, produto e potência, essa palavras não soam familiares para vocês? Pois é, parece que poderemos utilizar aqui as 3 propriedades operatórias dos logaritmos.

Se vocês observarem com atenção a primeira operação que realizamos acima, verão que começamos aplicando a propriedade conhecida como “Logaritmo do quociente”. Assim, obteve-se uma diferença de logaritmos de mesma base, certo? Mas se tiver alguém se perguntando aonde é que foi parar a base desse logaritmo, é só lembrar do seguinte: quando a base de um logaritmo é omitida, ou não aparece, significa que se trata de um logaritmo decimal, ou seja, a sua base vale 10.

Agora, acabamos de aplicar mais uma importante propriedade, conhecida como “Logaritmo do produto”, e esta deu origem a uma soma de logaritmos de mesma base. Até aí, tudo certo? É claro que vocês já sabem que o próximo passo consiste em utilizar a última propriedade que estamos estudando, chamada de “Logaritmo da potência”. Nós realmente vamos fazer isso, mas antes é necessário aproveitar um termo da expressão que acabamos de formar para explicar uma possível variação dessa propriedade, que envolve qualquer tipo de radical, olhem só:

Segundo a propriedade da potenciação número 8 (P8), que observamos na tabela apresentada logo no início do texto, todo radical pode ser reescrito na forma de potência de expoente fracionário. Portanto, se aplicarmos essa propriedade ao radical presente em nossa expressão logarítmica, poderemos, na sequência, utilizar a propriedade do Logaritmo da potência em dois pontos da expressão, otimizando-a ainda mais:

Viram que interessante? Agora vocês já sabem que é possível aplicar da propriedade do Logaritmo a potência quando surgir um radical no logaritmando de um logaritmo! Basta transformá-lo numa potência de expoente fracionário, e pronto!

2. Dados log_a b = 8 e log_a c = 6, qual é o valor de log_a (b³·c²).

Sempre que nos deparamos com exercícios que a princípio parecem confusos, precisamos ter duas perguntas em mente: o que temos a disposição, e aonde queremos chegar. Vejam que temos o valor numérico de dois logaritmos interessantes (log_a b = 8 e log_a c = 6), mas inicialmente, eles não se assemelham muito a expressão na qual queremos obter o valor (log_a (b³· c²)). Ora, se precisamos chegar no valor da expressão logarítmica log_a (b³· c²) com os valores que nos foram dados, temos que dar um jeito de obter, a partir desta, expressões como aquelas que conhecemos.

Felizmente, as notícias são boas. A primeira delas é que tanto as bases dos logaritmos cujo valor conhecemos, quanto a base da expressão cujo valor devemos obter, são iguais, e valem a. A segunda notícia, é que podemos enxergar no logaritmando da expressão log_a (b³· c²), um produto e duas potências. Isso é um indício de que poderemos utilizar duas das 3 propriedades operatórias dos logaritmos para atingir nosso objetivo.

E agora, o que acharam dessa nova expressão que obtemos? Pois então, parece que já podemos substituir os valores numéricos disponibilizados no enunciado, acompanhem!

3. Se log 2 = a e log 3 = b, expresse log 144 em função de a e b.

Novamente, nos deparamos com expressões logarítmicas que, a princípio, não parecem ter relação alguma. Mas se repararmos melhor, veremos que as bases de todos os logaritmos apresentados não aparecem, ou seja, todos esses logaritmos são decimais. Se todas as bases são iguais, significa que provavelmente as propriedades operatórias dos logaritmos vão conseguir nos ajudar a expressar log 144 em função de a e b.

Se a e b são respectivamente iguais a log 2 e log 3, é claro que log 144 precisará ser reescrito através de uma expressão logarítmica que envolva esses termos. Ora, se 2 e 3 são números primos, por que não tentar decompor 144 em fatores primos, e ver no que dá?

E não é que 144 pode mesmo ser reescrito na forma de produto entre potências de base 2 e 3? Isso nos dá algumas pistas de que as propriedades operatórias dos logaritmos vão entrar em cena novamente!

Opa! Parece que chegamos ao nosso objetivo! Agora já é possível expressar log 144 em função de a e b.

Quem achar conveniente, pode colocar o valor 2 em evidência, afinal, ele é comum aos dois termos da expressão que formamos.

Incrível, não é mesmo? Vejam como em todos os casos que resolvemos até então, a solução foi sempre utilizar as propriedades operatórias dos logaritmos para transformar expressões logarítmicas em outras que se assemelhassem àquilo que conhecíamos, mesmo que a princípio ambas não parecessem ter relação alguma. Portanto, aí vai uma dica: se vocês ficarem craques nisso, não haverá operação logarítmica que poderá lhes deter!

E agora, para encerrar este texto com chave de ouro, vamos reescrever algumas expressões por meio de um único logaritmo. É claro que isso é válido, desde que as bases de todos os logaritmos envolvidos sejam iguais, certo? Eu vou disponibilizar aqui algumas expressões logarítmicas e o resto é com vocês: tentem utilizar as propriedades listadas na tabela para chegar ao resultado formado!

E aí, deu tudo certo? Espero que este texto tenha ajudado vocês a aprofundar o conhecimento quanto as propriedades operatórias dos logaritmos! E quem ficou na dúvida, não precisa se preocupar: no vídeo que está em anexo, eu mostro como resolver, passo a passo, cada uma dessas expressões! Além disso, mostro como as consequências da definição dos logaritmos também podem ajudar, ou não, a transformarmos uma expressão logarítmica em um único logaritmo. Não percam!

E eu vou ficando por aqui! Um abraço e até o próximo texto!